Задание 13 ЕГЭ по математике №00042590

Пусть школьник откладывает $x$ рублей в месяц. Сумма должна позволить купить видеокарту при любом подорожании не больше $40\%$, поэтому рассматриваю самый неудачный случай — видеокарта каждый месяц дорожает ровно на $40\%$. Если цена растёт медленнее, купить только легче.

Деньги откладываются в середине месяца, а дорожает видеокарта в конце. Поэтому в середине $n$-го месяца у школьника $nx$ рублей, а видеокарта подорожала $n-1$ раз и стоит $30\,000\cdot1{,}4^{n-1}$ рублей.

Купить видеокарту в $n$-м месяце можно, если

$$nx\ge30\,000\cdot1{,}4^{n-1}\ \Leftrightarrow\ x\ge f(n)=\dfrac{30\,000\cdot1{,}4^{n-1}}{n}.$$

Школьнику достаточно одного подходящего месяца, поэтому наименьшая сумма $x$ равна наименьшему из чисел $f(n)$.

Сравню соседние значения: $\dfrac{f(n+1)}{f(n)}=\dfrac{1{,}4n}{n+1}$. Эта дробь меньше $1$, когда $1{,}4n\lt n+1$, то есть $n\lt2{,}5$, и больше $1$ при $n\gt2{,}5$. Значит, $f(1)\gt f(2)\gt f(3)$, а начиная с $n=3$ значения растут: $f(3)\lt f(4)\lt f(5)\lt\ldots$

Наименьшее значение:

$$f(3)=\dfrac{30\,000\cdot1{,}4^{2}}{3}=10\,000\cdot1{,}96=19\,600.$$

Проверю таблицей: $f(1)=30\,000$, $f(2)=21\,000$, $f(3)=19\,600$, $f(4)=20\,580$, $f(5)=23\,049{,}6$. При $x=19\,600$ в середине третьего месяца накоплено $58\,800$ рублей, а видеокарта стоит не больше $30\,000\cdot1{,}4^{2}=58\,800$ рублей — покупка возможна. При меньшем $x$ и росте ровно на $40\%$ накопления отстают от цены в каждом месяце.