Задание 13 ЕГЭ по математике №00042603

Задание №13. Экономические задачи

Задачи на оптимальный выбор

№2. Задание 13

ID: 00042603

Стример получил деньги за спонсорскую интеграцию и хочет положить их на вклад на три года, чтобы потом обновить весь стрим-сетап. Банк А предлагает вклад, на котором в конце каждого года сумма увеличивается на 10 % по сравнению с её размером в начале года. Банк Б предлагает вклад, на котором в конце первого года сумма увеличивается на 4 %, а в конце второго и третьего годов — на $$n$$ % по сравнению с её размером в начале соответствующего года. Найдите наименьшее целое $$n$$ , при котором через три года сумма на вкладе в банке Б будет больше, чем в банке А при той же начальной сумме.

Источник: Global_EE

Решение

Обозначим начальную сумму $$S$$ . Через три года обе суммы пропорциональны $$S$$ , поэтому сравнивать нужно только множители — во сколько раз вырастет вклад в каждом банке.

Банк А: три раза умножаем на $$1{,}1$$ :

$1{,}1^{3}=1{,}331.$

Банк Б: сначала на $$1{,}04$$ , потом два раза на $k=1+\dfrac{n}{100}$ , всего в $1{,}04\,k^{2}$ раза.

Банк Б выгоднее, если

$1{,}04\,k^{2}\gt1{,}331\ \Leftrightarrow\ k^{2}\gt\dfrac{1{,}331}{1{,}04}=1{,}2798\ldots$

Чем больше $$n$$ , тем больше $k^{2}$ , поэтому достаточно найти первое целое $$n$$ , при котором неравенство выполняется. Сравним квадраты соседних кандидатов:

$1{,}13^{2}=1{,}2769\lt1{,}2798,\qquad 1{,}14^{2}=1{,}2996\gt1{,}2798.$

Значит, при $$n=13$$ (и тем более при меньших $$n$$ ) банк Б не выгоднее, а при $$n=14$$ — выгоднее. Наименьшее $$n=14$$ .

Проверим прямым счётом. При $$n=13$$ : $1{,}04\cdot1{,}2769=1{,}327976\lt1{,}331$ — банк Б проигрывает. При $$n=14$$ : $1{,}04\cdot1{,}2996=1{,}351584\gt1{,}331$ — банк Б выигрывает.

Ответ

Другие задания по теме «Задачи на оптимальный выбор» (8)