Задание 13 ЕГЭ по математике №00042604

Пусть стример откладывает $x$ рублей в неделю. Сумма должна подойти при любом подорожании не больше $25\%$, поэтому рассматриваем самый неудачный случай: фигурка каждую неделю дорожает ровно на $25\%$. Если цена растёт медленнее, купить её только легче.

Деньги откладываются в середине недели, а дорожает фигурка в конце. Поэтому в середине $n$-й недели у стримера $nx$ рублей, а фигурка к этому моменту подорожала $n-1$ раз и стоит $25\,600\cdot1{,}25^{n-1}$ рублей.

Купить фигурку в $n$-ю неделю можно, если

$$nx\ge25\,600\cdot1{,}25^{n-1}\ \Leftrightarrow\ x\ge f(n)=\dfrac{25\,600\cdot1{,}25^{n-1}}{n}.$$

Стримеру достаточно одной подходящей недели, поэтому наименьшая сумма $x$ равна наименьшему из чисел $f(n)$.

Сравним соседние значения:

$$\dfrac{f(n+1)}{f(n)}=\dfrac{1{,}25\,n}{n+1}.$$

Эта дробь меньше $1$, когда $1{,}25n\lt n+1$, то есть при $n\lt4$; равна $1$ при $n=4$ и больше $1$ при $n\gt4$. Значит, $f$ убывает до $n=4$, затем $f(4)=f(5)$, а дальше растёт.

Наименьшее значение:

$$f(4)=\dfrac{25\,600\cdot1{,}25^{3}}{4}=6400\cdot1{,}953125=12\,500.$$

Проверим таблицей: $f(1)=25\,600$, $f(2)=16\,000$, $f(3)\approx13\,333$, $f(4)=12\,500$, $f(5)=12\,500$, $f(6)\approx13\,021$. При $x=12\,500$ в середине четвёртой недели накоплено $50\,000$ рублей, а фигурка стоит не больше $25\,600\cdot1{,}25^{3}=50\,000$ рублей — покупка возможна. При меньшем $x$ и подорожании ровно на $25\%$ копилка отстаёт от цены в каждую неделю.