Global EE

Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00042614

Задание №13. Экономические задачи

Кредиты

№2. Задание 13

ID: 00042614

Сэви, преподаватель Global EE, решила превратить пустую комнату в офисе в уютную читальню для учеников: стеллажи до потолка, кресла-мешки и пятьсот книг — от сборников задач до фантастики. 15-го июля планируется взять кредит в банке на сумму 240 тысяч рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма всех платежей составит 283,2 тысячи рублей?

Источник: Global_EE

Решение

Пусть кредит взят на $n$ месяцев. Долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину и за $n$ месяцев уходит от $240$ тыс. до нуля, поэтому шаг уменьшения равен $\dfrac{240}{n}$ тыс. рублей.

Всё, что Сэви заплатит сверх $240$ тыс., — это проценты: сам кредит возвращается ровно один раз. Переплата равна $283{,}2-240=43{,}2$ тыс. рублей.

Проценты начисляются на долги на 15-е число: $240$, $240-\dfrac{240}{n}$, …, $\dfrac{240}{n}$. Это $n$ чисел, которые убывают на одну и ту же величину, — арифметическая прогрессия. Её сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на их количество:

$$\dfrac{240+\frac{240}{n}}{2}\cdot n=\dfrac{240\,(n+1)}{2}=120\,(n+1).$$

Проценты составляют $3\%$ от этой суммы, и они равны переплате:

$$0{,}03\cdot120\,(n+1)=3{,}6\,(n+1)=43{,}2.$$

Отсюда $n+1=12$ и $n=11$.

Проверка при $n=11$: сумма долгов $\dfrac{240+\frac{240}{11}}{2}\cdot11=\dfrac{240\cdot12}{2}=1440$; проценты $0{,}03\cdot1440=43{,}2$; всего $240+43{,}2=283{,}2$ тыс. рублей — совпало.

Ответ

11
Другие задания по теме «Кредиты» (8)