Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00042608

Студия каждый год платит одну и ту же сумму, пока долг после января не станет не больше платежа. Проследим долг по годам в тысячах рублей: в январе умножаем на $1{,}2$, весной вычитаем $360$.

2031 год: $1000\cdot1{,}2=1200$, после платежа $1200-360=840$.

2032 год: $840\cdot1{,}2=1008$, после платежа $648$.

2033 год: $648\cdot1{,}2=777{,}6$, после платежа $417{,}6$.

2034 год: $417{,}6\cdot1{,}2=501{,}12$, после платежа $141{,}12$.

2035 год: $141{,}12\cdot1{,}2=169{,}344$. Это уже не больше $360$, поэтому долг выплачивается целиком. Последний платёж равен $169{,}344$ тыс. рублей, то есть $169\,344$ рубля.

Проверим другим способом. Если платежи по $360$ шли $n$ лет, то долг после них равен кредиту, выросшему $n$ раз, минус платежи, каждый из которых тоже «подрос» до конца срока:

$$1000\cdot1{,}2^{n}-360\left(1{,}2^{n-1}+\ldots+1{,}2+1\right)=1000\cdot1{,}2^{n}-360\cdot\dfrac{1{,}2^{n}-1}{0{,}2}=1800-800\cdot1{,}2^{n}.$$

При $n=4$: $1{,}2^{4}=2{,}0736$, остаток $1800-1658{,}88=141{,}12$ — совпало с прогоном. Через год он вырастет до $141{,}12\cdot1{,}2=169{,}344$ тыс. рублей.