Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00042605

Обозначим кредит $S$ тыс. рублей. Долг каждый год уменьшается на одну и ту же величину и за четыре года уходит в ноль, значит, каждый год он уменьшается на $\dfrac{S}{4}=0{,}25S$.

Каждый платёж состоит из двух частей: $0{,}25S$, на которые уменьшается долг, и процентов — $25\%$ от июльского долга прошлого года. Июльские долги убывают: $S$, $0{,}75S$, $0{,}5S$, $0{,}25S$, поэтому убывают и проценты, и сами платежи. Самый большой платёж — первый:

$$x_1=0{,}25S+0{,}25S=0{,}5S.$$

Он не должен превышать $900$ тыс. рублей:

$$0{,}5S\le900\ \Rightarrow\ S\le1800.$$

Наибольший возможный кредит — $1800$ тыс. рублей. Найдём для него общую сумму платежей. Тело кредита, $1800$, возвращается целиком, а проценты начисляются на долги $1800$, $1350$, $900$ и $450$:

$$0{,}25\cdot(1800+1350+900+450)=0{,}25\cdot4500=1125.$$

Общая сумма платежей:

$$1800+1125=2925\ \text{тыс. рублей}.$$

Проверим по годам: $x_1=450+450=900$, $x_2=337{,}5+450=787{,}5$, $x_3=225+450=675$, $x_4=112{,}5+450=562{,}5$. Все платежи не больше $900$, а их сумма $900+787{,}5+675+562{,}5=2925$ — совпало.