Global EE

Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00042601

Задание №13. Экономические задачи

Кредиты

№2. Задание 13

ID: 00042601

Фан-клуб Genshin Impact проводит большой фестиваль с косплей-конкурсом и турниром по скоростному прохождению боссов. На аренду зала и оборудования организатор 15 января планирует взять кредит в банке на 4 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

Долг (в процентах от кредита)

100 %

90 %

70 %

40 %

0 %

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат превысит сумму кредита не более чем на 25 %.

Источник: Global_EE

Решение

Таблица сразу говорит, каким должен быть долг на 15-е число каждого месяца. Обозначим кредит $S$, а $q=\dfrac{r}{100}$ — долю, на которую долг вырастает 1-го числа.

Долги на 15-е: $S$, $0{,}9S$, $0{,}7S$, $0{,}4S$, $0$. Платёж месяца — это долг после начисления процентов минус долг, который должен остаться 15-го:

$$\text{февраль: } (1+q)S-0{,}9S;\qquad \text{март: } (1+q)\cdot0{,}9S-0{,}7S;$$

$$\text{апрель: } (1+q)\cdot0{,}7S-0{,}4S;\qquad \text{май: } (1+q)\cdot0{,}4S.$$

Сложим всё. Слагаемые без $q$ дают $S+0{,}9S+0{,}7S+0{,}4S-0{,}9S-0{,}7S-0{,}4S=S$ — это сам кредит. Слагаемые с $q$ — проценты:

$$q\,(1+0{,}9+0{,}7+0{,}4)S=3qS.$$

Переплата должна быть не больше $25\%$ кредита:

$$3qS\le0{,}25S\ \Rightarrow\ q\le\dfrac{0{,}25}{3}=\dfrac{1}{12}.$$

В процентах: $r\le\dfrac{100}{12}=\dfrac{25}{3}\approx8{,}33$. Число $r$ целое, поэтому наибольшее подходящее значение $r=8$.

Проверим соседние ставки. При $r=8$ переплата равна $3\cdot0{,}08=0{,}24$, то есть $24\%$ кредита, — подходит. При $r=9$ переплата $3\cdot0{,}09=0{,}27$, то есть $27\%$, — уже больше $25\%$, не подходит.

Ответ

8
Другие задания по теме «Кредиты» (8)