Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00042586

Популярный TikTok-блогер решил обустроить собственную студию для съёмок. 15 января он планирует взять в банке кредит на 480 тысяч рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат составит 542,4 тысячи рублей?

Источник: Global_EE

Решение

Пусть кредит взят на $$n$$ месяцев. Долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину и за $$n$$ месяцев уходит от $$480$$ тыс. рублей до нуля, значит, шаг уменьшения равен $\dfrac{480}{n}$ тыс. рублей.

Каждый платёж состоит из двух частей: процентов, начисленных 1-го числа, и уменьшения долга на $\dfrac{480}{n}$ . Уменьшения за весь срок вместе дают ровно $$480$$ тыс. рублей, поэтому всё, что сверх них, — проценты:

$542{,}4-480=62{,}4\ \text{тыс. рублей}.$

Проценты начисляются на долги на 15-е число: $$480$$ , $480-\dfrac{480}{n}$ , …, $\dfrac{480}{n}$ . Это $$n$$ членов арифметической прогрессии; её сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на их количество:

$\dfrac{480+\frac{480}{n}}{2}\cdot n=\dfrac{480\,(n+1)}{2}=240\,(n+1).$

Проценты — это $2\%$ от этой суммы: $0{,}02\cdot240\,(n+1)=4{,}8\,(n+1)$ . Приравниваю к переплате:

$4{,}8\,(n+1)=62{,}4\ \Rightarrow\ n+1=13\ \Rightarrow\ n=12.$

Проверка при $$n=12$$ : долг уменьшается на $$40$$ тыс. в месяц, долги $480, 440, \ldots, 40$ , их сумма $\dfrac{480+40}{2}\cdot12=3120$ ; проценты $0{,}02\cdot3120=62{,}4$ ; всего $$480+62{,}4=542{,}4$$ тыс. рублей — совпало.

Ответ

Другие задания по теме «Кредиты» (8)