Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00042582

Клуб английской Премьер-лиги расширяет стадион и в июле 2027 года берёт в банке кредит на четыре года в размере $$S$$ млн фунтов стерлингов. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита составит 163 млн фунтов стерлингов. Найдите $$S$$ . Ответ дайте в миллионах фунтов стерлингов.

Источник: Global_EE

Решение

Долг здесь уменьшается по заданному правилу, поэтому сначала выпишу долги на июль каждого года (в млн фунтов), а потом соберу платежи.

«На $25\%$ меньше» — значит, остаётся $\dfrac34$ прежнего долга. Долги на июль:

$2027:\ S;\quad 2028:\ \dfrac34S;\quad 2029:\ \dfrac{9}{16}S;\quad 2030:\ \dfrac{27}{64}S;\quad 2031:\ 0.$

Платёж года — это долг после январского роста на $10\%$ минус долг, который должен остаться в июле. Например, в 2028 году это $1{,}1S-\dfrac34S$ .

Сложу все четыре платежа. Каждый долг 2027–2030 годов входит в сумму с множителем $$1{,}1$$ , а долги 2028–2030 годов — ещё и со знаком минус:

$1{,}1\left(S+\dfrac34S+\dfrac{9}{16}S+\dfrac{27}{64}S\right)-\left(\dfrac34S+\dfrac{9}{16}S+\dfrac{27}{64}S\right).$

В первой скобке $\dfrac{64+48+36+27}{64}S=\dfrac{175}{64}S$ , во второй — $\dfrac{48+36+27}{64}S=\dfrac{111}{64}S$ . Тогда сумма платежей равна

$1{,}1\cdot\dfrac{175}{64}S-\dfrac{111}{64}S=\dfrac{192{,}5-111}{64}S=\dfrac{81{,}5}{64}S=\dfrac{163}{128}S.$

По условию она равна $$163$$ : $\dfrac{163}{128}S=163$ , откуда $$S=128$$ .

Проверю по годам (в млн фунтов). Долги на июль: $$128$$ , $$96$$ , $$72$$ , $$54$$ . Платежи: 2028 — $$140{,}8-96=44{,}8$$ ; 2029 — $$105{,}6-72=33{,}6$$ ; 2030 — $$79{,}2-54=25{,}2$$ ; 2031 — $54\cdot1{,}1=59{,}4$ . Сумма $$44{,}8+33{,}6+25{,}2+59{,}4=163$$ — совпало.

Ответ

128

Другие задания по теме «Кредиты» (8)