Адиль на стриме разбирает задачи одну за другой. Время X (в минутах), которое уходит на разбор одной задачи, подчиняется распределению: Время разбора X, мин 10 15 20 Вероятность 0,2 0,5 0,3 Двадцать минут — это когда в чате попросили «а можно ещё раз и помедленнее?». Найдите стандартное отклонение случайной величины X. Ответ дайте в минутах.

Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042580

Задание №6. Случайная величина

Дисперсия и стандартное отклонение

№2. Задание 6

ID: 00042580

Адиль на стриме разбирает задачи одну за другой. Время $$X$$ (в минутах), которое уходит на разбор одной задачи, подчиняется распределению:

Время разбора $$X$$ , мин	$$10$$	$$15$$	$$20$$
Вероятность	$$0{,}2$$	$$0{,}5$$	$$0{,}3$$

Двадцать минут — это когда в чате попросили «а можно ещё раз и помедленнее?». Найдите стандартное отклонение случайной величины $$X$$ . Ответ дайте в минутах.

Источник: Global_EE

Решение

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$ . Ищу дисперсию.

Разброс не меняется, если все значения сдвинуть на одно и то же число. Перейду к величине $$Y=X-15$$ — это отклонение времени от «обычных» $$15$$ минут. Она принимает значения $$-5$$ , $$0$$ и $$5$$ с теми же вероятностями $$0{,}2$$ , $$0{,}5$$ , $$0{,}3$$ .

Ожидание: $M(Y)=-5\cdot0{,}2+0\cdot0{,}5+5\cdot0{,}3=-1+1{,}5=0{,}5$ .

Ожидание квадрата: $$Y^2$$ принимает значения $$25$$ , $$0$$ , $$25$$ , поэтому $M(Y^2)=25\cdot0{,}2+25\cdot0{,}3=5+7{,}5=12{,}5$ .

$D(X)=D(Y)=12{,}5-0{,}5^2=12{,}5-0{,}25=12{,}25.$

$\sigma(X)=\sqrt{12{,}25}=3{,}5.$

Проверка без сдвига: $M(X)=10\cdot0{,}2+15\cdot0{,}5+20\cdot0{,}3=2+7{,}5+6=15{,}5$ ; $M(X^2)=100\cdot0{,}2+225\cdot0{,}5+400\cdot0{,}3=20+112{,}5+120=252{,}5$ ; $D(X)=252{,}5-15{,}5^2=252{,}5-240{,}25=12{,}25$ — та же дисперсия, и $3{,}5^2=12{,}25$ .

Ответ

3,5

Другие задания по теме «Дисперсия и стандартное отклонение» (8)