Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042556

Задание №6. Случайная величина

Дисперсия и стандартное отклонение

№2. Задание 6

ID: 00042556

В серии послематчевых пенальти на чемпионате мира по футболу нападающий выходит на один удар. Вероятность того, что он забьёт, равна $$0{,}75$$ . Случайная величина $$X$$ — число голов, забитых этим ударом: $$X=1$$ , если мяч в сетке, и $$X=0$$ , если нет.

Найдите дисперсию случайной величины $$X$$ .

Источник: Global_EE

Решение

У удара два исхода: гол ( $$X=1$$ ) с вероятностью $$0{,}75$$ и промах или сейв вратаря ( $$X=0$$ ) с вероятностью $$1-0{,}75=0{,}25$$ .

Дисперсия показывает, насколько значения величины разбросаны вокруг её среднего. Считаю её по формуле «ожидание квадрата минус квадрат ожидания»:

$D(X)=M(X^2)-\big(M(X)\big)^2.$

Математическое ожидание: $M(X)=0\cdot0{,}25+1\cdot0{,}75=0{,}75$ .

Квадраты значений: $$0^2=0$$ и $$1^2=1$$ — величина $$X^2$$ совпадает с $$X$$ , поэтому $M(X^2)=0{,}75$ .

$D(X)=0{,}75-0{,}75^2=0{,}75-0{,}5625=0{,}1875.$

Проверка по определению: при голе отклонение от среднего равно $$1-0{,}75=0{,}25$$ , при промахе $$0-0{,}75=-0{,}75$$ . Квадраты отклонений $$0{,}0625$$ и $$0{,}5625$$ , усредняю их с вероятностями исходов: $0{,}0625\cdot0{,}75+0{,}5625\cdot0{,}25=0{,}046875+0{,}140625=0{,}1875$ — совпало.

Ответ

0,1875

Другие задания по теме «Дисперсия и стандартное отклонение» (8)