Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042559

Задание №6. Случайная величина

Дисперсия и стандартное отклонение

№2. Задание 6

ID: 00042559

В английской Премьер-лиге за победу команда получает $$3$$ очка, за ничью — $$1$$ очко, за поражение — $$0$$ очков. Для одного из клубов-лидеров вероятность победы в матче оценивается в $$0{,}6$$ , ничьей — в $$0{,}2$$ , поражения — в $$0{,}2$$ . Случайная величина $$X$$ — число очков, которые клуб наберёт в одном матче.

Найдите дисперсию случайной величины $$X$$ .

Источник: Global_EE

Решение

Составляю распределение: $$X=0$$ (поражение) с вероятностью $$0{,}2$$ , $$X=1$$ (ничья) с вероятностью $$0{,}2$$ , $$X=3$$ (победа) с вероятностью $$0{,}6$$ . Сумма вероятностей $$0{,}2+0{,}2+0{,}6=1$$ — распределение полное.

Дисперсию нахожу по формуле $D(X)=M(X^2)-\big(M(X)\big)^2$ .

Математическое ожидание: $M(X)=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}2+3\cdot0{,}6=0+0{,}2+1{,}8=2$ . В среднем клуб набирает $$2$$ очка за матч.

Ожидание квадрата: значения $$X^2$$ равны $$0$$ , $$1$$ и $$9$$ , поэтому $M(X^2)=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}2+9\cdot0{,}6=0{,}2+5{,}4=5{,}6$ .

$D(X)=5{,}6-2^2=5{,}6-4=1{,}6.$

Проверка по определению: отклонения от среднего $$2$$ равны $$-2$$ (поражение), $$-1$$ (ничья) и $$1$$ (победа). Их квадраты $$4$$ , $$1$$ , $$1$$ ; усредняю с вероятностями: $4\cdot0{,}2+1\cdot0{,}2+1\cdot0{,}6=0{,}8+0{,}2+0{,}6=1{,}6$ — совпало.

Ответ

1,6

Другие задания по теме «Дисперсия и стандартное отклонение» (8)