Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042568

Задание №6. Случайная величина

Дисперсия и стандартное отклонение

№2. Задание 6

ID: 00042568

Автор YouTube-канала выпускает ролики двух форматов: короткий обзор длительностью $$10$$ минут и большой разбор длительностью $$25$$ минут. Каждый новый ролик оказывается коротким обзором с вероятностью $$0{,}8$$ и большим разбором с вероятностью $$0{,}2$$ . Случайная величина $$X$$ — длительность нового ролика в минутах.

Найдите стандартное отклонение случайной величины $$X$$ . Ответ дайте в минутах.

Источник: Global_EE

Решение

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии, поэтому сначала ищу $$D(X)$$ .

Дисперсия не меняется, если все значения сдвинуть на одно и то же число: разброс вокруг среднего остаётся прежним. Возьму $$Y=X-10$$ — на сколько минут ролик длиннее короткого обзора. $$Y=0$$ с вероятностью $$0{,}8$$ и $$Y=15$$ с вероятностью $$0{,}2$$ .

Ожидание: $M(Y)=0\cdot0{,}8+15\cdot0{,}2=3$ .

Ожидание квадрата: $M(Y^2)=0\cdot0{,}8+225\cdot0{,}2=45$ .

$$$D(X)=D(Y)=45-3^2=45-9=36.$$$

$\sigma(X)=\sqrt{36}=6.$

Проверка без сдвига: $M(X)=10\cdot0{,}8+25\cdot0{,}2=8+5=13$ ; $M(X^2)=100\cdot0{,}8+625\cdot0{,}2=80+125=205$ ; $$D(X)=205-13^2=205-169=36$$ , корень — снова $$6$$ минут.

Ответ

Другие задания по теме «Дисперсия и стандартное отклонение» (8)