Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042576

Обозначу число очков за бросок через $X$: значение $0$ с вероятностью $1-0{,}2=0{,}8$ и значение $3$ с вероятностью $0{,}2$.

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии: $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$. Значит, сначала нужна дисперсия.

Ожидание: $M(X)=0\cdot0{,}8+3\cdot0{,}2=0{,}6$ — в среднем $0{,}6$ очка за бросок.

Ожидание квадрата: $X^2$ принимает значения $0$ и $9$, поэтому $M(X^2)=0\cdot0{,}8+9\cdot0{,}2=1{,}8$.

Дисперсия — ожидание квадрата минус квадрат ожидания:

$$D(X)=1{,}8-0{,}6^2=1{,}8-0{,}36=1{,}44.$$

Извлекаю корень:

$$\sigma(X)=\sqrt{1{,}44}=1{,}2.$$

Проверка по определению: промах отстоит от среднего на $0-0{,}6=-0{,}6$, точный бросок — на $3-0{,}6=2{,}4$. Квадраты отклонений $0{,}36$ и $5{,}76$, усредняю: $0{,}36\cdot0{,}8+5{,}76\cdot0{,}2=0{,}288+1{,}152=1{,}44$. Дисперсия та же, и $1{,}2^2=1{,}44$.