Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042575

Задание №6. Случайная величина

Дисперсия и стандартное отклонение

№2. Задание 6

ID: 00042575

Сэви проходит в Geometry Dash новый уровень, где кубик прыгает в такт музыке. Вероятность того, что очередная попытка окажется удачной и уровень будет пройден целиком, равна $$0{,}2$$ (остальные попытки заканчиваются на шипах где-то посередине). Случайная величина $$X$$ — число уровней, пройденных за одну попытку ( $$0$$ или $$1$$ ). Найдите дисперсию случайной величины $$X$$ .

Источник: Global_EE

Решение

Распределение $$X$$ : значение $$1$$ (уровень пройден) с вероятностью $$0{,}2$$ и значение $$0$$ (попытка закончилась на шипах) с вероятностью $$1-0{,}2=0{,}8$$ .

Дисперсия — среднее значение квадрата отклонения величины от её математического ожидания. Поэтому сначала нахожу ожидание:

$M(X)=0\cdot0{,}8+1\cdot0{,}2=0{,}2.$

Отклонения от среднего: у неудачной попытки $$0-0{,}2=-0{,}2$$ , у удачной $$1-0{,}2=0{,}8$$ . Квадраты отклонений: $$0{,}04$$ и $$0{,}64$$ — минус при возведении в квадрат исчезает.

Усредняю квадраты отклонений с вероятностями исходов:

$D(X)=0{,}04\cdot0{,}8+0{,}64\cdot0{,}2=0{,}032+0{,}128=0{,}16.$

Проверка по формуле $D(X)=M(X^2)-\big(M(X)\big)^2$ : так как $$0^2=0$$ и $$1^2=1$$ , величина $$X^2$$ совпадает с $$X$$ и $M(X^2)=0{,}2$ . Тогда $$D(X)=0{,}2-0{,}04=0{,}16$$ — совпало.

Ответ

0,16

Другие задания по теме «Дисперсия и стандартное отклонение» (8)