Global EE

Математическо… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042572

Задание №6. Случайная величина

Математическое ожидание случайной величины

№2. Задание 6

ID: 00042572

Сэви проводит открытый турнир в Clash Royale от имени школьного клана. В турнире участвуют $2000$ игроков. По итогам часть участников получает очки рейтинга клана; сколько очков и сколько игроков их получили, показано в таблице.

Очки рейтинга

10

50

100

500

1000

Число игроков

300

120

40

6

1

Остальные участники очков не получают (зато пополняют коллекцию смешных эмодзи короля). Найдите математическое ожидание случайной величины «число очков рейтинга у одного случайно выбранного участника».

Источник: Global_EE

Решение

Случайная величина $X$ — число очков у одного случайно выбранного участника. Она принимает значения $0$ (участник без очков), $10$, $50$, $100$, $500$ и $1000$.

Вероятность каждого значения — доля игроков с таким результатом среди всех $2000$ участников, а не только призёров. Например, $P(X=10)=\dfrac{300}{2000}$, $P(X=1000)=\dfrac{1}{2000}$.

Ожидание — сумма произведений значений на вероятности. Нулевое значение ничего не добавляет, а остальные слагаемые удобно собрать над общим знаменателем $2000$:

$$M(X)=\dfrac{10\cdot300+50\cdot120+100\cdot40+500\cdot6+1000\cdot1}{2000}.$$

Числитель по частям: $10\cdot300=3000$; $50\cdot120=6000$; $100\cdot40=4000$; $500\cdot6=3000$; $1000\cdot1=1000$. Вместе $17\,000$ — это все очки, которые Сэви раздаст по итогам турнира.

$$M(X)=\dfrac{17\,000}{2000}=8{,}5.$$

Проверка через десятичные вероятности: $10\cdot0{,}15=1{,}5$; $50\cdot0{,}06=3$; $100\cdot0{,}02=2$; $500\cdot0{,}003=1{,}5$; $1000\cdot0{,}0005=0{,}5$. Сумма $1{,}5+3+2+1{,}5+0{,}5=8{,}5$ — совпало.

Ответ

8,5
Другие задания по теме «Математическое ожидание случайной величины» (8)