Математическо… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042557

Случайная величина $X$ — число голов в случайно выбранном матче. Она принимает значения $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.

Вероятность каждого значения — доля матчей с таким числом голов среди всех $72$ матчей. Например, $P(X=3)=\dfrac{17}{72}$. Сначала проверю, что таблица охватывает все матчи: $5+12+19+17+10+6+3=72$.

Математическое ожидание — сумма произведений значений на их вероятности. У всех вероятностей общий знаменатель $72$, поэтому записываю одной дробью:

$$M(X)=\dfrac{0\cdot5+1\cdot12+2\cdot19+3\cdot17+4\cdot10+5\cdot6+6\cdot3}{72}.$$

Считаю числитель по слагаемым: $0$; $12$; $38$; $51$; $40$; $30$; $18$. Сумма: $12+38=50$, $50+51=101$, $101+40=141$, $141+30=171$, $171+18=189$. Это общее число голов на групповом этапе.

$$M(X)=\dfrac{189}{72}=\dfrac{21}{8}=2{,}625.$$

Проверка другим способом — через отклонения от $3$ голов. Матчи с $0$, $1$, $2$ голами недобирают до трёх $3\cdot5+2\cdot12+1\cdot19=58$ голов, а матчи с $4$, $5$, $6$ голами дают сверх трёх $1\cdot10+2\cdot6+3\cdot3=31$ гол. Итого недобор $58-31=27$ голов на $72$ матча, то есть $\dfrac{27}{72}=0{,}375$ на матч: $3-0{,}375=2{,}625$ — совпало.