Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042545

Дисперсия показывает, насколько значения случайной величины в среднем разбросаны вокруг её математического ожидания. Считать её удобно по формуле $D(Z)=M(Z^2)-\big(M(Z)\big)^2$ — ожидание квадрата минус квадрат ожидания.

Составляю распределение. Если второй артефакт не выпал, $Z=1$; если выпал, $Z=2$. Второй выпадает с вероятностью $0{,}1$, значит, не выпадает с вероятностью $1-0{,}1=0{,}9$.

Математическое ожидание: $M(Z)=1\cdot0{,}9+2\cdot0{,}1=0{,}9+0{,}2=1{,}1$.

Ожидание квадрата: $Z^2$ принимает значения $1^2=1$ и $2^2=4$ с теми же вероятностями, поэтому $M(Z^2)=1\cdot0{,}9+4\cdot0{,}1=0{,}9+0{,}4=1{,}3$.

$$D(Z)=1{,}3-1{,}1^2=1{,}3-1{,}21=0{,}09.$$

Проверка по определению — через отклонения от среднего $1{,}1$: у значения $1$ отклонение $-0{,}1$, у значения $2$ отклонение $0{,}9$. Квадраты $0{,}01$ и $0{,}81$ усредняю с вероятностями: $0{,}01\cdot0{,}9+0{,}81\cdot0{,}1=0{,}009+0{,}081=0{,}09$ — совпало.