Global EE

Математическо… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00042541

Задание №6. Случайная величина

Математическое ожидание случайной величины

№2. Задание 6

ID: 00042541

Организаторы большого ивента в Roblox раздали $20\,000$ участникам по одному подарочному коду. Награды в робуксах и число кодов с каждой наградой показаны в таблице.

Награда (в робуксах)

10

50

100

400

1000

Число кодов

2000

400

100

20

4

Остальные коды дают только косметический значок, робуксов по ним игрок не получает.

Найдите математическое ожидание случайной величины «число робуксов по одному коду», который получил случайно выбранный участник. Ответ дайте в робуксах.

Источник: Global_EE

Решение

Случайная величина $X$ — число робуксов, которое приносит один код. Её значения: $0$ (код со значком), $10$, $50$, $100$, $400$ и $1000$.

Вероятность каждого значения — доля кодов с такой наградой среди всех $20\,000$ разосланных кодов, а не только среди тех, что дают робуксы. Например, $P(X=10)=\dfrac{2000}{20\,000}=0{,}1$.

Математическое ожидание — сумма произведений значений на их вероятности. Значение $0$ ничего не добавляет, а у остальных дробей общий знаменатель:

$$M(X)=\dfrac{10\cdot2000+50\cdot400+100\cdot100+400\cdot20+1000\cdot4}{20\,000}.$$

Считаю числитель по слагаемым: $10\cdot2000=20\,000$; $50\cdot400=20\,000$; $100\cdot100=10\,000$; $400\cdot20=8000$; $1000\cdot4=4000$. Сумма $62\,000$.

$$M(X)=\dfrac{62\,000}{20\,000}=3{,}1.$$

Проверка другим способом — через вероятности: $10\cdot0{,}1=1$; $50\cdot0{,}02=1$; $100\cdot0{,}005=0{,}5$; $400\cdot0{,}001=0{,}4$; $1000\cdot0{,}0002=0{,}2$. Сумма $1+1+0{,}5+0{,}4+0{,}2=3{,}1$ — совпало.

Ответ

3,1
Другие задания по теме «Математическое ожидание случайной величины» (8)