ID: 00022253
Источник: ФИПИ
а) Задача сама просится в координаты. Ставим $A$ в начало, ось $x$ — вдоль $AB$, ось $y$ — вдоль $AD$, ось $z$ — вдоль $AA_1$.
Расставим точки. $EA = \dfrac{3}{8} \cdot 16 = 6$, поэтому $E(0;0;6)$. $FB = \dfrac{11}{16} \cdot 16 = 11$, поэтому $F(6\sqrt{2};0;11)$. $T$ — середина $B_1C_1$: $T(6\sqrt{2};5;16)$. И наша цель — вершина $D_1(0;10;16)$.
Теперь главное наблюдение. Вектор $\overrightarrow{FT} = (0;5;5)$, а вектор $\overrightarrow{ED_1} = (0;10;10)$. Видите? $\overrightarrow{ED_1} = 2\overrightarrow{FT}$ — векторы пропорциональны, значит, прямые $FT$ и $ED_1$ параллельны.
А две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит точки $E$, $F$ и $T$ — то есть это и есть плоскость $EFT$. Раз прямая $ED_1$ лежит в ней целиком, то и точка $D_1$ ей принадлежит. Доказано.
б) Соберём сечение по граням: $EF$ лежит в грани $ABB_1A_1$ (обе точки при $y = 0$), $FT$ — в грани $BCC_1B_1$, отрезок $TD_1$ — в верхней грани (обе точки на высоте 16), $D_1E$ — в грани $ADD_1A_1$. Получился четырёхугольник $EFTD_1$ — это и есть всё сечение.
Причём мы уже знаем, что $ED_1 \parallel FT$, — значит, это трапеция. Считаем стороны: $FT = \sqrt{0 + 25 + 25} = 5\sqrt{2}$, $ED_1 = \sqrt{0 + 100 + 100} = 10\sqrt{2}$, $EF = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 0 + 5^2} = \sqrt{72 + 25} = \sqrt{97}$, $TD_1 = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 5^2 + 0} = \sqrt{97}$. Боковые стороны равны — трапеция равнобокая.
Высота трапеции по Пифагору: полуразность оснований $\dfrac{10\sqrt{2} - 5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$, её квадрат $\dfrac{50}{4} = 12{,}5$. Тогда $h^2 = 97 - 12{,}5 = 84{,}5 = \dfrac{169}{2}$, откуда $h = \dfrac{13}{\sqrt{2}} = \dfrac{13\sqrt{2}}{2}$.
Площадь: $S = \dfrac{5\sqrt{2} + 10\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{13\sqrt{2}}{2} = \dfrac{15\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{13\sqrt{2}}{2} = \dfrac{15 \cdot 13 \cdot 2}{4} = \dfrac{390}{4} = 97{,}5$.
Проверим правдоподобие: сечение примерно $7{,}1 \times 9{,}2$ в параллелепипеде с рёбрами до 16 — вполне реалистично. Всё сходится.