ID: 00013645
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ $AB=8$, $AA_1=7$. На $CC_1$ точка $M$, $CM=1$.
а) $O,O_1$ — центры окружностей около $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Докажите, что $OO_1$ содержит точку пересечения медиан $\triangle ABM$.
б) Найдите расстояние от $A_1$ до плоскости $ABM$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
$O,O_1$ — центры оснований. Прямая $OO_1$ — ось призмы; точка пересечения медиан треугольника $ABM$ лежит на ней по симметрии (проверяется по координатам). Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Расстояние от $A_1$ до плоскости $ABM$ равно $4\sqrt3$.
4$\sqrt{3}$