ID: 00013645
В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 AB=8, AA_1=7. На CC_1 точка M, CM=1.
а) O,O_1 — центры окружностей около ABC и A_1B_1C_1. Докажите, что OO_1 содержит точку пересечения медиан \triangle ABM.
б) Найдите расстояние от A_1 до плоскости ABM.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
O,O_1 — центры оснований. Прямая OO_1 — ось призмы; точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на ней по симметрии (проверяется по координатам). Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Расстояние от A_1 до плоскости ABM равно 4\sqrt3.
Ответ: 4\sqrt3.
4\sqrt{3}