ID: 00022396
Источник: ФИПИ
Сначала найдём четвёртый угол. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle LMN=360^\circ-90^\circ-120^\circ-120^\circ=30^\circ$. Центр $O$ вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис всех углов, а радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам.
а) Удобно смотреть на дуги между точками касания. Если окружность касается сторон $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ в точках $P$, $Q$, $A$, $B$, то между двумя точками касания, «прилегающими» к вершине, центральный угол равен $180^\circ$ минус угол при этой вершине. Считаем дуги по кругу: у вершины $K$ дуга $BP=180^\circ-120^\circ=60^\circ$; у вершины $L$ дуга $PQ=180^\circ-120^\circ=60^\circ$; у вершины $M$ дуга $QA=180^\circ-30^\circ=150^\circ$; у вершины $N$ дуга $AB=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. В сумме $60^\circ+60^\circ+150^\circ+90^\circ=360^\circ$ — сходится.
Луч $OL$ идёт по биссектрисе угла $L$, то есть в середину дуги $PQ$. Возьмём радиус $OQ$ за начало отсчёта углов. Тогда радиус $OA$ повёрнут от $OQ$ на дугу $QA=150^\circ$, а радиус в середину дуги $PQ$ (это и есть направление $OL$) повёрнут в другую сторону на $30^\circ$ (половину дуги $PQ$). Между направлениями $OA$ и $OL$ получается ровно $150^\circ+30^\circ=180^\circ$. Значит, $OA$ и $OL$ — противоположные лучи, то есть точки $L$, $O$, $A$ лежат на одной прямой, причём $O$ между $L$ и $A$. Точка $A$ лежит на прямой $LO$, что и требовалось.
б) Обозначим радиус вписанной окружности $r$. Расстояние от вершины до центра выражается через полуугол: $OL=\dfrac{r}{\sin(\angle L/2)}=\dfrac{r}{\sin 60^\circ}=\dfrac{2r}{\sqrt3}$, а $OA=r$ (радиус в точку касания). Так как $O$ лежит между $L$ и $A$, то $LA=OL+OA=\dfrac{2r}{\sqrt3}+r=1$. Отсюда $r=\dfrac{1}{1+\frac{2}{\sqrt3}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3+2}=\sqrt3(2-\sqrt3)=2\sqrt3-3$.
Теперь сама сторона: $MN=MA+AN$. Отрезки касательных: $AN=\dfrac{r}{\tan(\angle N/2)}=\dfrac{r}{\tan45^\circ}=r$, а $MA=\dfrac{r}{\tan(\angle M/2)}=\dfrac{r}{\tan15^\circ}=r(2+\sqrt3)$ (поскольку $\tan15^\circ=2-\sqrt3$). Значит, $MN=r(2+\sqrt3)+r=r(3+\sqrt3)$. Подставляем $r=2\sqrt3-3$: $MN=(2\sqrt3-3)(3+\sqrt3)=6\sqrt3+2\cdot3-9-3\sqrt3=3\sqrt3-3$. Проверка: $r=2\sqrt3-3\approx0{,}46>0$ — окружность существует, и $MN\approx2{,}2$ — всё сходится.