а) Обрати внимание: каждая из двух окружностей касается сразу обоих оснований BC и AD, а основания параллельны. Если окружность вписана между двумя параллельными прямыми и касается их обеих, то расстояние между этими прямыми равно её диаметру, а центр сидит ровно посередине — на равном расстоянии от обоих оснований.

Значит и O_1, и O_2 находятся на одинаковом расстоянии (равном радиусу, то есть половине высоты трапеции) от основания AD. А все точки, равноудалённые от AD, лежат на прямой, параллельной AD, — это средняя линия трапеции. Оба центра на ней, поэтому прямая O_1O_2 параллельна основаниям. Что и требовалось доказать.

б) Найдём высоту. Разность оснований AD-BC=39-9=30 раскладывается на два горизонтальных выступа под боковыми сторонами: пусть слева выступ p, справа q, тогда p+q=30. По теореме Пифагора для боковых сторон: p^2+h^2=AB^2=100 и q^2+h^2=CD^2=900. Вычтем одно из другого: q^2-p^2=800, то есть (q-p)(q+p)=800, значит q-p=\dfrac{800}{30}=\dfrac{80}{3}. Вместе с q+p=30 получаем q=\dfrac{85}{3}, p=\dfrac{5}{3}.

Отсюда h^2=100-p^2=100-\dfrac{25}{9}=\dfrac{875}{9}. Но сам h можно даже не вычислять — сейчас он красиво сократится. Радиус каждой окружности r=\dfrac{h}{2}.

Центры лежат на средней линии, её длина \dfrac{BC+AD}{2}=\dfrac{9+39}{2}=24. Пусть P и Q — середины боковых сторон AB и CD (концы средней линии). Центр O_1 касается стороны AB, поэтому расстояние по средней линии от P до O_1 равно \dfrac{r}{\sin A}, где \sin A=\dfrac{h}{AB}=\dfrac{h}{10}; тогда PO_1=\dfrac{h/2}{h/10}=5. Аналогично для O_2: \sin D=\dfrac{h}{CD}=\dfrac{h}{30}, и QO_2=\dfrac{h/2}{h/30}=15.

Значит O_1O_2=PQ-PO_1-QO_2=24-5-15=4. Высота действительно сократилась, ответ O_1O_2=4.