Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022398

а) Обрати внимание: каждая из двух окружностей касается сразу обоих оснований $BC$ и $AD$, а основания параллельны. Если окружность вписана между двумя параллельными прямыми и касается их обеих, то расстояние между этими прямыми равно её диаметру, а центр сидит ровно посередине — на равном расстоянии от обоих оснований.

Значит и $O_1$, и $O_2$ находятся на одинаковом расстоянии (равном радиусу, то есть половине высоты трапеции) от основания $AD$. А все точки, равноудалённые от $AD$, лежат на прямой, параллельной $AD$, — это средняя линия трапеции. Оба центра на ней, поэтому прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям. Что и требовалось доказать.

б) Найдём высоту. Разность оснований $AD-BC=39-9=30$ раскладывается на два горизонтальных выступа под боковыми сторонами: пусть слева выступ $p$, справа $q$, тогда $p+q=30$. По теореме Пифагора для боковых сторон: $p^2+h^2=AB^2=100$ и $q^2+h^2=CD^2=900$. Вычтем одно из другого: $q^2-p^2=800$, то есть $(q-p)(q+p)=800$, значит $q-p=\dfrac{800}{30}=\dfrac{80}{3}$. Вместе с $q+p=30$ получаем $q=\dfrac{85}{3}$, $p=\dfrac{5}{3}$.

Отсюда $h^2=100-p^2=100-\dfrac{25}{9}=\dfrac{875}{9}$. Но сам $h$ можно даже не вычислять — сейчас он красиво сократится. Радиус каждой окружности $r=\dfrac{h}{2}$.

Центры лежат на средней линии, её длина $\dfrac{BC+AD}{2}=\dfrac{9+39}{2}=24$. Пусть $P$ и $Q$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ (концы средней линии). Центр $O_1$ касается стороны $AB$, поэтому расстояние по средней линии от $P$ до $O_1$ равно $\dfrac{r}{\sin A}$, где $\sin A=\dfrac{h}{AB}=\dfrac{h}{10}$; тогда $PO_1=\dfrac{h/2}{h/10}=5$. Аналогично для $O_2$: $\sin D=\dfrac{h}{CD}=\dfrac{h}{30}$, и $QO_2=\dfrac{h/2}{h/30}=15$.

Значит $O_1O_2=PQ-PO_1-QO_2=24-5-15=4$. Высота действительно сократилась, ответ $O_1O_2=4$.