Задание 18 ЕГЭ по математике №00042515

Пункт а. Докажу, что сумма катетов равна $2r+2R$.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $B$ прямой, $AB$ и $BC$ — катеты, $AC$ — гипотенуза. Вписанная окружность с центром $O$ и радиусом $r$ касается сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $N$, $M$, $K$ соответственно; $R$ — радиус описанной окружности. Докажу, что $AB+BC=2r+2R$.

Шаг 1. Отрезки у вершины прямого угла. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $ON\perp AB$, $OM\perp BC$. В четырёхугольнике $ONBM$ углы при $N$, $B$, $M$ прямые, значит, это прямоугольник. Его соседние стороны $ON$ и $OM$ равны как радиусы, поэтому $ONBM$ — квадрат, и $BN=BM=r$.

Шаг 2. Остальные отрезки касательных. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: из точки $A$ — $AN=AK$, из точки $C$ — $CM=CK$.

Шаг 3. Сумма катетов. Разложу каждый катет на два отрезка и заменю их равными:

$$AB+BC=(BN+AN)+(BM+CM)=r+AK+r+CK=2r+(AK+CK)=2r+AC.$$

Шаг 4. Гипотенуза и описанная окружность. Прямой угол $B$ вписан в описанную окружность и опирается на дугу $AC$, значит, эта дуга — полуокружность, а $AC$ — диаметр: $AC=2R$.

Подставляю: $AB+BC=2r+2R$, то есть сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей. Что и требовалось доказать.

Проверка на треугольнике с катетами $6$ и $8$: гипотенуза $10$, $R=5$; площадь $24$, полупериметр $12$, $r=\dfrac{S}{p}=2$. Тогда $2r+2R=4+10=14=6+8$ — верно.

Пункт б. Найду площадь треугольника при $r=3$ и $R=7{,}5$.

Пусть $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. По пункту а $a+b=2r+2R=6+15=21$, а гипотенуза — диаметр описанной окружности: $c=2R=15$.

Площадь любого треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: треугольник разбивается на три треугольника с общей вершиной в центре окружности и высотами, равными $r$. Полупериметр

$$p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{21+15}{2}=18,$$

поэтому

$$S=r\cdot p=3\cdot18=54.$$

Проверю, найдя сами катеты. Известны сумма $a+b=21$ и сумма квадратов $a^2+b^2=c^2=225$. Тогда $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=441-225=216$, $ab=108$ и $S=\dfrac{ab}{2}=54$ — то же самое.

Катеты — корни уравнения $t^2-21t+108=0$: $t=9$ и $t=12$. Треугольник $9$, $12$, $15$ существует и прямоугольный ($81+144=225$), у него $r=\dfrac{9+12-15}{2}=3$ и $R=\dfrac{15}{2}=7{,}5$ — как в условии.