ID: 00022393
Источник: ФИПИ
Смотри, вся задача крутится вокруг двух отрезков $CM$ и $DN$. Первым делом заметим их главное свойство. Прямоугольные треугольники $CBM$ и $DCN$ равны: у них $CB = DC$ (стороны квадрата), $BM = CN$ (половинки сторон), а углы при $B$ и $C$ прямые. Значит, $\angle BCM = \angle CDN$. А теперь посмотри на треугольник $KCN$: в нём $\angle KCN = \angle BCM$... то есть $\angle KCN = \angle CDN$, и вместе с общим для $DCN$ разложением углов это даёт $\angle CKD = 90^\circ$. Проще говоря, $CM \perp DN$. Это ключ ко всему.
а) Соберём вокруг точки $K$ удобную окружность. Рассмотрим четырёхугольник $BMKN$. В нём $\angle MBN = 90^\circ$ — это угол самого квадрата. А $\angle MKN = 90^\circ$ — это как раз угол между $CM$ и $DN$, который мы только что нашли. Сумма противоположных углов $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, а значит, около четырёхугольника $BMKN$ можно описать окружность. Теперь работает вписанный угол: $\angle BKM$ и $\angle BNM$ опираются на одну и ту же дугу $BM$ и лежат по одну сторону от хорды, поэтому они равны. Осталось найти $\angle BNM$. В треугольнике $BNM$ угол при $B$ прямой, а катеты равны: $BM = BN = \tfrac{1}{2}AB$. Это равнобедренный прямоугольный треугольник, значит, $\angle BNM = 45^\circ$. Отсюда $\angle BKM = 45^\circ$, что и требовалось.
б) Теперь удобнее посчитать в координатах. Пусть сторона квадрата $a = AB$; поставим $A=(0;0)$, $B=(a;0)$, $C=(a;a)$, $D=(0;a)$. Тогда $M=\left(\tfrac{a}{2};0\right)$ — середина $AB$, $N=\left(a;\tfrac{a}{2}\right)$ — середина $BC$. Прямая $CM$ имеет уравнение $y = 2x - a$, прямая $DN$ — уравнение $y = a - \tfrac{x}{2}$. Приравниваем и находим точку пересечения: $2x - a = a - \tfrac{x}{2}$, откуда $\tfrac{5}{2}x = 2a$, то есть $x = \tfrac{4a}{5}$, $y = \tfrac{3a}{5}$. Значит, $K=\left(\tfrac{4a}{5};\tfrac{3a}{5}\right)$.
Теперь стороны треугольника $ABK$. Считаем расстояния: $AK = \sqrt{\left(\tfrac{4a}{5}\right)^2+\left(\tfrac{3a}{5}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{16a^2+9a^2}{25}} = a$; далее $AB = a$; и $BK = \sqrt{\left(a-\tfrac{4a}{5}\right)^2+\left(\tfrac{3a}{5}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{a^2+9a^2}{25}} = \tfrac{a\sqrt{10}}{5}$. Площадь треугольника $ABK$ проще всего взять по координатам: основание $AB=a$ лежит на оси, высота равна ординате $K$, то есть $\tfrac{3a}{5}$, поэтому $S = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot \tfrac{3a}{5} = \tfrac{3a^2}{10}$.
Радиус описанной окружности удобно взять по формуле $R = \dfrac{AB\cdot AK\cdot BK}{4S}$. Подставляем: $R = \dfrac{a\cdot a\cdot \tfrac{a\sqrt{10}}{5}}{4\cdot \tfrac{3a^2}{10}} = \dfrac{\tfrac{a^3\sqrt{10}}{5}}{\tfrac{6a^2}{5}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{6}$. Осталось подставить $a = 2\sqrt{10}$: $R = \dfrac{2\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}{6} = \dfrac{2\cdot 10}{6} = \dfrac{10}{3}$. Проверка: $AK = a = AB$, треугольник получился «ладный», и число вышло аккуратное — всё сходится.