Задание 18 ЕГЭ по математике №00042199

Сначала поймём картинку: точка $K$ на стороне $BC$ одновременно лежит на биссектрисе угла $A$ и на серединном перпендикуляре к $AB$. Из этого получатся все углы.

Пункт а. Докажем, что $AC^2=BC\cdot CK$.

Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, значит, она равноудалена от концов отрезка: $KA=KB$. Треугольник $AKB$ равнобедренный, и $\angle KAB=\angle KBA=\angle B$.

$AK$ — биссектриса угла $BAC$, поэтому $\angle KAC=\angle KAB=\angle B$.

Треугольники $CAK$ и $CBA$ подобны: угол $C$ у них общий, а $\angle CAK=\angle CBA$. Соответственные стороны пропорциональны:

$$\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CK}{CA}\ \Rightarrow\ AC^2=BC\cdot CK.$$

Доказано.

Пункт б. Найдём радиус окружности, вписанной в треугольник $AKC$, при $\sin B=0{,}6$ и $AC=24$.

Обозначим $\angle B=\beta$. Тогда $\angle A=2\beta$ (биссектриса делит его на два угла по $\beta$), а $\angle C=180^\circ-3\beta$. Так как $\angle C\gt0$, получаем $\beta\lt60^\circ$, поэтому $\cos\beta\gt0$:

$$\cos\beta=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8.$$

Углы треугольника $AKC$: при вершине $A$ угол $\beta$, при вершине $K$ — внешний угол треугольника $AKB$, равный $2\beta$, при вершине $C$ угол $180^\circ-3\beta$.

Нужные синусы:

$$\sin2\beta=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96,\qquad \sin C=\sin3\beta=3\sin\beta-4\sin^3\beta=1{,}8-0{,}864=0{,}936.$$

По теореме синусов для треугольника $AKC$ сторона $AC$ лежит против угла $2\beta$:

$$\dfrac{AC}{\sin2\beta}=\dfrac{24}{0{,}96}=25,\qquad KC=25\sin\beta=15,\qquad AK=25\sin C=23{,}4.$$

Площадь треугольника $AKC$ через две стороны и угол между ними:

$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot KC\cdot\sin C=\dfrac12\cdot24\cdot15\cdot0{,}936=168{,}48.$$

Полупериметр $p=\dfrac{24+15+23{,}4}{2}=31{,}2$. Радиус вписанной окружности равен площади, делённой на полупериметр:

$$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{168{,}48}{31{,}2}=5{,}4.$$

Проверим себя пунктом а. Из треугольника $ABC$ по теореме синусов $BC=\dfrac{AC\cdot\sin2\beta}{\sin\beta}=\dfrac{24\cdot0{,}96}{0{,}6}=38{,}4$. Тогда $CK=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{576}{38{,}4}=15$ — совпало с найденным, и $AK=BK=38{,}4-15=23{,}4$ — тоже совпало.