Обозначим \angle ABC=\beta. По условию \angle BAC=2\beta, а третий угол \angle ACB=180^\circ-3\beta. Главная зацепка — центральный угол. Точка O — центр описанной около ABC окружности, а вписанный угол \angle ABC опирается на дугу AC, поэтому центральный угол на ту же дугу вдвое больше: \angle AOC=2\angle ABC=2\beta.

а) Посмотрим на окружность, описанную около AOC. На ней лежат четыре точки: A, O, C и P. Углы \angle AOC и \angle APC — вписанные и опираются на одну и ту же хорду AC. Точка O (центр остроугольного треугольника) лежит внутри треугольника, то есть по ту же сторону от прямой AC, что и вершина B; точка P лежит на отрезке BC — тоже по сторону B. Значит, O и P на одной дуге, и углы равны: \angle APC=\angle AOC=2\beta. Так как точки B, P, C лежат на одной прямой, смежный угол \angle APB=180^\circ-\angle APC=180^\circ-2\beta. Теперь в треугольнике ABP: \angle ABP=\beta, \angle APB=180^\circ-2\beta, поэтому третий угол \angle BAP=180^\circ-\beta-(180^\circ-2\beta)=\beta. Получилось, что \angle BAP=\angle ABP=\beta, значит, треугольник ABP равнобедренный и AP=BP, что и требовалось.

б) Работаем с треугольником ABC по теореме синусов. Стороны и противолежащие углы: BC против \angle A=2\beta, AC=4 против \angle B=\beta, AB=7 против \angle C=180^\circ-3\beta. Отношение сторон AB и AC даёт \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sin 3\beta}{\sin\beta}. Раскроем: \dfrac{\sin 3\beta}{\sin\beta}=3-4\sin^2\beta=4\cos^2\beta-1. Значит, 4\cos^2\beta-1=\dfrac{7}{4}, откуда 4\cos^2\beta=\dfrac{11}{4} и \cos^2\beta=\dfrac{11}{16}, то есть \cos\beta=\dfrac{\sqrt{11}}{4}.

Осталось найти BC. Снова по теореме синусов \dfrac{BC}{\sin 2\beta}=\dfrac{AC}{\sin\beta}, откуда BC=AC\cdot\dfrac{\sin 2\beta}{\sin\beta}=4\cdot\dfrac{2\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta}=8\cos\beta=8\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{4}=2\sqrt{11}. Проверка: \cos\beta=\tfrac{\sqrt{11}}{4}\approx0{,}83, то есть \beta\approx34^\circ, тогда углы примерно 68^\circ, 34^\circ, 78^\circ — все острые, треугольник действительно остроугольный, всё сходится.