ID: 00022394
Источник: ФИПИ
Обозначим $\angle ABC=\beta$. По условию $\angle BAC=2\beta$, а третий угол $\angle ACB=180^\circ-3\beta$. Главная зацепка — центральный угол. Точка $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности, а вписанный угол $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$, поэтому центральный угол на ту же дугу вдвое больше: $\angle AOC=2\angle ABC=2\beta$.
а) Посмотрим на окружность, описанную около $AOC$. На ней лежат четыре точки: $A$, $O$, $C$ и $P$. Углы $\angle AOC$ и $\angle APC$ — вписанные и опираются на одну и ту же хорду $AC$. Точка $O$ (центр остроугольного треугольника) лежит внутри треугольника, то есть по ту же сторону от прямой $AC$, что и вершина $B$; точка $P$ лежит на отрезке $BC$ — тоже по сторону $B$. Значит, $O$ и $P$ на одной дуге, и углы равны: $\angle APC=\angle AOC=2\beta$. Так как точки $B$, $P$, $C$ лежат на одной прямой, смежный угол $\angle APB=180^\circ-\angle APC=180^\circ-2\beta$. Теперь в треугольнике $ABP$: $\angle ABP=\beta$, $\angle APB=180^\circ-2\beta$, поэтому третий угол $\angle BAP=180^\circ-\beta-(180^\circ-2\beta)=\beta$. Получилось, что $\angle BAP=\angle ABP=\beta$, значит, треугольник $ABP$ равнобедренный и $AP=BP$, что и требовалось.
б) Работаем с треугольником $ABC$ по теореме синусов. Стороны и противолежащие углы: $BC$ против $\angle A=2\beta$, $AC=4$ против $\angle B=\beta$, $AB=7$ против $\angle C=180^\circ-3\beta$. Отношение сторон $AB$ и $AC$ даёт $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sin 3\beta}{\sin\beta}$. Раскроем: $\dfrac{\sin 3\beta}{\sin\beta}=3-4\sin^2\beta=4\cos^2\beta-1$. Значит, $4\cos^2\beta-1=\dfrac{7}{4}$, откуда $4\cos^2\beta=\dfrac{11}{4}$ и $\cos^2\beta=\dfrac{11}{16}$, то есть $\cos\beta=\dfrac{\sqrt{11}}{4}$.
Осталось найти $BC$. Снова по теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin 2\beta}=\dfrac{AC}{\sin\beta}$, откуда $BC=AC\cdot\dfrac{\sin 2\beta}{\sin\beta}=4\cdot\dfrac{2\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta}=8\cos\beta=8\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{4}=2\sqrt{11}$. Проверка: $\cos\beta=\tfrac{\sqrt{11}}{4}\approx0{,}83$, то есть $\beta\approx34^\circ$, тогда углы примерно $68^\circ$, $34^\circ$, $78^\circ$ — все острые, треугольник действительно остроугольный, всё сходится.