Задание 18 ЕГЭ по математике №00022403

а) Углы $\angle BB_1C=90^\circ$ и $\angle BC_1C=90^\circ$ опираются на отрезок $BC$, поэтому точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $BC$ — четыре точки $B,C,B_1,C_1$ лежат на одной окружности.

Вписанные углы $\angle BB_1C_1$ и $\angle BCC_1$ опираются на одну и ту же хорду $BC_1$, значит равны: $\angle BB_1C_1=\angle BCC_1$. В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ угол $\angle BCC_1=90^\circ-\angle B$.

С другой стороны, $AH$ лежит на высоте из вершины $A$ на $BC$. В прямоугольном треугольнике, образованном этой высотой и стороной $AB$, угол $\angle BAH=90^\circ-\angle B$. Значит $\angle BB_1C_1=90^\circ-\angle B=\angle BAH$. Что и требовалось.

б) Расстояние от центра описанной окружности до стороны $BC$ равно $R\cos A$: перпендикуляр из центра к хорде $BC$ равен $\sqrt{R^2-\left(\dfrac a2\right)^2}$, где $a=2R\sin A$, что и даёт $R\cos A$.

Отрезок $B_1C_1$ соединяет основания двух высот. Треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\cos A$ (так как $AB_1=AB\cos A$, $AC_1=AC\cos A$, угол $A$ общий), поэтому $B_1C_1=BC\cos A=a\cos A=2R\sin A\cos A$.

Отсюда $R\cos A=\dfrac{B_1C_1}{2\sin A}=\dfrac{18}{2\sin30^\circ}=\dfrac{18}{2\cdot0{,}5}=18$. Значит расстояние от центра до $BC$ равно $18$. Всё сходится.