а) Углы \angle BB_1C=90^\circ и \angle BC_1C=90^\circ опираются на отрезок BC, поэтому точки B_1 и C_1 лежат на окружности с диаметром BC — четыре точки B,C,B_1,C_1 лежат на одной окружности.

Вписанные углы \angle BB_1C_1 и \angle BCC_1 опираются на одну и ту же хорду BC_1, значит равны: \angle BB_1C_1=\angle BCC_1. В прямоугольном треугольнике BCC_1 угол \angle BCC_1=90^\circ-\angle B.

С другой стороны, AH лежит на высоте из вершины A на BC. В прямоугольном треугольнике, образованном этой высотой и стороной AB, угол \angle BAH=90^\circ-\angle B. Значит \angle BB_1C_1=90^\circ-\angle B=\angle BAH. Что и требовалось.

б) Расстояние от центра описанной окружности до стороны BC равно R\cos A: перпендикуляр из центра к хорде BC равен \sqrt{R^2-\left(\dfrac a2\right)^2}, где a=2R\sin A, что и даёт R\cos A.

Отрезок B_1C_1 соединяет основания двух высот. Треугольник AB_1C_1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом \cos A (так как AB_1=AB\cos A, AC_1=AC\cos A, угол A общий), поэтому B_1C_1=BC\cos A=a\cos A=2R\sin A\cos A.

Отсюда R\cos A=\dfrac{B_1C_1}{2\sin A}=\dfrac{18}{2\sin30^\circ}=\dfrac{18}{2\cdot0{,}5}=18. Значит расстояние от центра до BC равно 18. Всё сходится.