Задание 18 ЕГЭ по математике №00022388

а) Так как $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписанный, и его внешний угол при вершине $B_1$ равен внутреннему при противоположной вершине $B$: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$. Общий угол $A$ довершает дело — треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны.

б) Коэффициент подобия $k$: из $S_{AB_1C_1}=\dfrac14 S_{BCB_1C_1}$ имеем $S_{ABC}=5S_{AB_1C_1}$, значит $k^2=\dfrac15$, $k=\dfrac{1}{\sqrt5}$. Тогда искомая сторона $B_1C_1=k\cdot BC=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot 5\sqrt5=5$.

Радиус: $B_1C_1=2R\sin\beta_1$, $BC=2R\sin\beta$, $\angle A=\beta-\beta_1$. Отсюда $\sin\beta_1=\dfrac{k\sin A}{\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}$ и $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\beta_1}$.

При $\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin150^\circ=\dfrac12$, $k=\dfrac{1}{\sqrt5}$: $1+k^2-2k\cos A=1+\dfrac15+\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}=\dfrac{6+\sqrt{15}}{5}$. Значит $\sin\beta_1=\dfrac{\frac{1}{\sqrt5}\cdot\frac12}{\sqrt{(6+\sqrt{15})/5}}=\dfrac{1}{2\sqrt{6+\sqrt{15}}}$, и $R=\dfrac{5}{2\sin\beta_1}=\dfrac{5}{\;1/\sqrt{6+\sqrt{15}}\;}=5\sqrt{6+\sqrt{15}}$.

Итак $B_1C_1=5$, $R=5\sqrt{6+\sqrt{15}}$.