Задание 18 ЕГЭ по математике №00022395

Обозначим $\angle ABC=\beta$, тогда $\angle BAC=2\beta$ и $\angle ACB=180^\circ-3\beta$. Как и раньше, центральный угол на дугу $AC$ равен $\angle AOC=2\angle ABC=2\beta$.

а) Точки $A$, $O$, $C$, $P$ лежат на одной окружности. Углы $\angle APC$ и $\angle AOC$ опираются на хорду $AC$; точки $O$ и $P$ находятся по одну сторону от прямой $AC$ (обе со стороны вершины $B$), поэтому $\angle APC=\angle AOC=2\beta$. Теперь найдём угол $\angle PAC$ в треугольнике $APC$: $\angle PAC=180^\circ-\angle APC-\angle ACP=180^\circ-2\beta-(180^\circ-3\beta)=\beta$. Сравним треугольники $PAC$ и $ABC$: у них общий угол при вершине $C$ ($\angle ACP=\angle ACB$), а $\angle PAC=\beta=\angle ABC$. По двум углам треугольники подобны: $\triangle PAC\sim\triangle ABC$ (соответствие вершин $P\!\to\!A$, $A\!\to\!B$, $C\!\to\!C$), что и требовалось доказать.

б) Из подобия сразу вытекают пропорции сторон: $\dfrac{PA}{AB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{PC}{AC}$. Из последнего равенства $PC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$. Тогда $BP=BC-PC=\sqrt{10}-\dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{10-4}{\sqrt{10}}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$.

Заметим ещё, что $\angle BAP=\angle BAC-\angle PAC=2\beta-\beta=\beta=\angle ABP$, поэтому треугольник $ABP$ равнобедренный и $AP=BP=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$. Осталось воспользоваться первой пропорцией: $\dfrac{PA}{AB}=\dfrac{AC}{BC}$, откуда $AB=PA\cdot\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{6}{2}=3$. Проверка: $\cos\beta=\tfrac{\sqrt{10}}{4}\approx0{,}79$, углы примерно $75{,}5^\circ$, $37{,}8^\circ$, $66{,}7^\circ$ — все острые, всё сходится.