Обозначим \angle ABC=\beta, тогда \angle BAC=2\beta и \angle ACB=180^\circ-3\beta. Как и раньше, центральный угол на дугу AC равен \angle AOC=2\angle ABC=2\beta.

а) Точки A, O, C, P лежат на одной окружности. Углы \angle APC и \angle AOC опираются на хорду AC; точки O и P находятся по одну сторону от прямой AC (обе со стороны вершины B), поэтому \angle APC=\angle AOC=2\beta. Теперь найдём угол \angle PAC в треугольнике APC: \angle PAC=180^\circ-\angle APC-\angle ACP=180^\circ-2\beta-(180^\circ-3\beta)=\beta. Сравним треугольники PAC и ABC: у них общий угол при вершине C (\angle ACP=\angle ACB), а \angle PAC=\beta=\angle ABC. По двум углам треугольники подобны: \triangle PAC\sim\triangle ABC (соответствие вершин P\!\to\!A, A\!\to\!B, C\!\to\!C), что и требовалось доказать.

б) Из подобия сразу вытекают пропорции сторон: \dfrac{PA}{AB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{PC}{AC}. Из последнего равенства PC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}. Тогда BP=BC-PC=\sqrt{10}-\dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{10-4}{\sqrt{10}}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}.

Заметим ещё, что \angle BAP=\angle BAC-\angle PAC=2\beta-\beta=\beta=\angle ABP, поэтому треугольник ABP равнобедренный и AP=BP=\dfrac{6}{\sqrt{10}}. Осталось воспользоваться первой пропорцией: \dfrac{PA}{AB}=\dfrac{AC}{BC}, откуда AB=PA\cdot\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{6}{2}=3. Проверка: \cos\beta=\tfrac{\sqrt{10}}{4}\approx0{,}79, углы примерно 75{,}5^\circ, 37{,}8^\circ, 66{,}7^\circ — все острые, всё сходится.