Задание 18 ЕГЭ по математике №00042503

Пункт а. Докажу, что $r=\dfrac{a+b-c}{2}$.

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$, $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Вписанная окружность с центром $O$ касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $M$, $N$ и $K$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OM\perp BC$ и $ON\perp AC$.

В четырёхугольнике $CMON$ три угла прямые ($C$, $M$ и $N$), значит, это прямоугольник. Его соседние стороны $OM$ и $ON$ равны как радиусы, поэтому $CMON$ — квадрат, и $CM=CN=r$.

Тогда остальные куски катетов: $BM=BC-CM=a-r$ и $AN=AC-CN=b-r$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: из вершины $B$ — $BK=BM=a-r$, из вершины $A$ — $AK=AN=b-r$.

Точка $K$ лежит на гипотенузе, поэтому

$$c=AK+KB=(b-r)+(a-r)=a+b-2r.$$

Выражаю $r$: $2r=a+b-c$, то есть $r=\dfrac{a+b-c}{2}$, что и требовалось доказать.

Проверю формулу на треугольнике с катетами $3$, $4$ и гипотенузой $5$. По формуле $r=\dfrac{3+4-5}{2}=1$. Через площадь: $S=\dfrac{3\cdot4}{2}=6$, полупериметр $p=6$, $r=\dfrac{S}{p}=1$ — совпадает.

Пункт б. Найду $r$, если точка касания делит гипотенузу на отрезки $10$ и $3$.

Какой из отрезков прилегает к какой вершине — неважно, буквы $A$ и $B$ можно поменять местами. Пусть $AK=10$, $KB=3$; тогда гипотенуза $c=AB=13$.

Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому $AN=AK=10$ и $BM=BK=3$. Отрезки от вершины прямого угла, как показано в пункте а, равны $r$: $CN=CM=r$. Значит, катеты равны

$$AC=10+r,\qquad BC=3+r.$$

Запишу теорему Пифагора для треугольника $ABC$:

$$(10+r)^2+(3+r)^2=13^2.$$

Раскрываю скобки: $100+20r+r^2+9+6r+r^2=169$, то есть $2r^2+26r-60=0$, или $r^2+13r-30=0$.

Дискриминант $D=169+120=289=17^2$, корни $r=\dfrac{-13\pm17}{2}$, то есть $r=2$ или $r=-15$. Радиус положителен, поэтому $r=2$.

Проверю другим способом. При $r=2$ катеты равны $12$ и $5$, и $12^2+5^2=144+25=169=13^2$ — треугольник действительно прямоугольный. Площадь $S=\dfrac{12\cdot5}{2}=30$, полупериметр $p=\dfrac{12+5+13}{2}=15$, радиус вписанной окружности $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{30}{15}=2$. Формула пункта а даёт то же: $r=\dfrac{12+5-13}{2}=2$.