Задание 18 ЕГЭ по математике №00042200

Точка $K$ на стороне $BC$ лежит и на биссектрисе угла $A$, и на серединном перпендикуляре к $AB$. Начнём с того, что даёт каждое из этих свойств.

Пункт а. Докажем, что $AC^2=BC\cdot CK$.

Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, значит, она равноудалена от концов отрезка: $KA=KB$. Треугольник $AKB$ равнобедренный, и $\angle KAB=\angle KBA=\angle B$.

$AK$ — биссектриса угла $BAC$, поэтому $\angle KAC=\angle KAB=\angle B$.

Треугольники $CAK$ и $CBA$ подобны: угол $C$ у них общий, а $\angle CAK=\angle CBA$. Соответственные стороны пропорциональны:

$$\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CK}{CA}\ \Rightarrow\ AC^2=BC\cdot CK.$$

Доказано.

Пункт б. Найдём радиус окружности, вписанной в треугольник $AKC$, при $\sin B=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$ и $AC=45$.

Из пункта а: $\angle A=2\angle B$. Сумма $\angle A+\angle B=3\angle B$ меньше $180^\circ$, значит, $\angle B\lt60^\circ$ и его косинус положителен:

$$\cos B=\sqrt{1-\dfrac{11}{36}}=\dfrac56.$$

Найдём $BC$ по теореме синусов для треугольника $ABC$, учитывая $\sin A=\sin2B=2\sin B\cos B$:

$$BC=\dfrac{AC\cdot\sin A}{\sin B}=AC\cdot2\cos B=45\cdot2\cdot\dfrac56=75.$$

По пункту а:

$$CK=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{2025}{75}=27.$$

Третья сторона треугольника $AKC$: $AK=KB=BC-CK=75-27=48$.

Итак, стороны треугольника $AKC$ равны $27$, $45$, $48$. Полупериметр $p=\dfrac{27+45+48}{2}=60$. Площадь по формуле Герона:

$$S=\sqrt{60\cdot(60-27)\cdot(60-45)\cdot(60-48)}=\sqrt{60\cdot33\cdot15\cdot12}=\sqrt{356400}=180\sqrt{11}.$$

(Действительно, $180^2\cdot11=32400\cdot11=356400$.) Радиус вписанной окружности:

$$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{180\sqrt{11}}{60}=3\sqrt{11}.$$

Проверим себя другим способом. Угол $C$ треугольника равен $180^\circ-3B$, $\sin C=\sin3B=\sin B\,(3-4\sin^2B)=\dfrac{\sqrt{11}}{6}\cdot\left(3-\dfrac{44}{36}\right)=\dfrac{\sqrt{11}}{6}\cdot\dfrac{16}{9}=\dfrac{8\sqrt{11}}{27}$. Тогда $S=\dfrac12\cdot AC\cdot CK\cdot\sin C=\dfrac12\cdot45\cdot27\cdot\dfrac{8\sqrt{11}}{27}=180\sqrt{11}$. Совпало.