Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042233

Пусть число записывается цифрами $a_k\ldots a_2a_1a_0$, то есть $N=a_0+10a_1+100a_2+1000a_3+\ldots$

Тогда $A=N-(a_0+a_1+a_2+\ldots)=9a_1+99a_2+999a_3+9999a_4+\ldots$

Значит, $A$ делится на 9 и $\dfrac{A}{9}=a_1+11a_2+111a_3+1111a_4+\ldots$, причём последняя цифра $a_0$ в формулу не входит.

Пункт а. $\dfrac{117}{9}=13=a_1+11a_2$. Подходит $a_2=1$, $a_1=2$: например, $N=120$, $A=120-3=117$. Итак, да.

Пункт б. $\dfrac{2979}{9}=331=a_1+11a_2+111a_3$ (больших разрядов быть не может: $1111\gt331$).

Если $a_3\ge3$, то $111a_3\ge333\gt331$. Если $a_3\le1$, то $a_1+11a_2+111a_3\le9+99+111=219\lt331$.

Остаётся $a_3=2$: $a_1+11a_2=331-222=109$. Но $a_2\le9$ даёт $11a_2\le99$, и тогда $a_1\ge10$ — не цифра.

Решений нет. Итак, нет.

Пункт в. $\dfrac{24345}{9}=2705=a_1+11a_2+111a_3+1111a_4$.

$a_4\ge3$ невозможно ($3333\gt2705$); при $a_4\le1$ сумма не больше $1111+999+99+9=2218\lt2705$. Значит, $a_4=2$ и $a_1+11a_2+111a_3=483$.

При $a_3\le3$ сумма не больше $333+99+9=441\lt483$, при $a_3\ge5$ уже $555\gt483$. Значит, $a_3=4$ и $a_1+11a_2=39$.

Так как $a_1\le9$, то $11a_2\ge30$, $a_2\ge3$; при $a_2\ge4$ $11a_2\ge44\gt39$. Значит, $a_2=3$, $a_1=6$.

Старших разрядов нет: $N=A+S(N)\le24345+45$ — пятизначное число. Итак, $N=2436a_0$, где $a_0$ — любая цифра.

Число делится на 4, если на 4 делится число из двух последних цифр $\overline{6a_0}$: это $60,\ 64,\ 68$.

Проверка: $24360-(2+4+3+6+0)=24345$. Ответ: $24360,\ 24364,\ 24368$.