Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042229

Пункт а. Ищу целые $a$, $b$ с $3a+b=7$ и $3b-a=1$.

Из второго уравнения $a=3b-1$. Подставлю в первое: $3(3b-1)+b=7$, $10b=10$, $b=1$, тогда $a=2$.

Проверка: из пары $(2;1)$ получается $(3\cdot2+1;\ 3\cdot1-2)=(7;1)$. Итак, да.

Пункт б. Пусть $(c;d)$ получена из $(a;b)$: $c=3a+b$, $d=3b-a$.

Применю операцию к паре $(b;-a)$: получится $(3b-a;\ -3a-b)=(d;\ -c)$.

Пара $(b;-a)$ целая, значит, $(d;-c)$ тоже получается с помощью операции. Итак, да.

Пункт в. Сначала найду признак того, что пара $(c;d)$ получается из какой-то пары.

Если $c=3a+b$, $d=3b-a$, то $3c-d=9a+3b-3b+a=10a$ и $c+3d=3a+b+9b-3a=10b$. Значит, оба числа $3c-d$ и $c+3d$ делятся на 10.

Обратно: если $3c-d$ и $c+3d$ делятся на 10, положу $a=\dfrac{3c-d}{10}$, $b=\dfrac{c+3d}{10}$ — это целые числа, и $3a+b=\dfrac{9c-3d+c+3d}{10}=c$, $3b-a=\dfrac{3c+9d-3c+d}{10}=d$. Признак доказан.

Пара $(9;-2)$: $3\cdot9-(-2)=29$ на 10 не делится. Значит, сама она не получается, и расстояние не меньше 1.

Пара $(9;-3)$ находится на расстоянии $|9-9|+|-2+3|=1$. Для неё $3\cdot9+3=30$ и $9-9=0$ — оба делятся на 10, $a=3$, $b=0$.

Проверка: из $(3;0)$ получается $(9+0;\ 0-3)=(9;-3)$.

Итак, наименьшее расстояние равно 1.