Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042235

Обозначу число Васи через $P(n)$. При переходе от $n-2$ к $n$ оно умножается на $1+\dfrac{2}{n^2}$.

Пункт а. Посчитаю напрямую: $P(7)=\dfrac{11}{9}\cdot\dfrac{27}{25}\cdot\dfrac{51}{49}=\dfrac{11\cdot27\cdot51}{9\cdot25\cdot49}=\dfrac{15147}{11025}$.

Сравню с $\dfrac32$ перекрёстным умножением: $15147\cdot2=30294$, $11025\cdot3=33075$, и $30294\lt33075$. Значит, $P(7)\lt\dfrac32$. Победит Петя.

Пункт б. Докажу по индукции, что $P(n)\ge\dfrac{3(n+1)}{2(n+2)}$ для всех нечётных $n\ge3$.

База: $P(3)=\dfrac{11}{9}$, а $\dfrac{3\cdot4}{2\cdot5}=\dfrac65$; $\dfrac{11}{9}\gt\dfrac65$, так как $55\gt54$.

Шаг: достаточно проверить, что множитель $1+\dfrac{2}{k^2}$ не меньше, чем отношение правых частей при $n=k$ и $n=k-2$:

$$\frac{3(k+1)}{2(k+2)}:\frac{3(k-1)}{2k}=\frac{k(k+1)}{(k-1)(k+2)}=1+\frac{2}{k^2+k-2}.$$

При $k\ge2$ знаменатель $k^2+k-2\ge k^2$, поэтому $1+\dfrac{2}{k^2}\ge1+\dfrac{2}{k^2+k-2}$ — шаг доказан.

При $n=11$: $P(11)\ge\dfrac{3\cdot12}{2\cdot13}=\dfrac{18}{13}\gt\dfrac{17}{13}$. Победит Вася.

Пункт в. Голое утверждение «$P(n)\lt2$» по индукции не доказывается: из $P\lt2$ не следует $P\cdot\left(1+\frac{2}{k^2}\right)\lt2$. Поэтому докажу более сильное: $P(n)\lt\dfrac{2n}{n+1}$.

База: $P(3)=\dfrac{11}{9}\lt\dfrac64=\dfrac32$.

Шаг: отношение правых частей при $n=k$ и $n=k-2$ равно $\dfrac{2k}{k+1}:\dfrac{2(k-2)}{k-1}=\dfrac{k(k-1)}{(k+1)(k-2)}=1+\dfrac{2}{k^2-k-2}$.

При $k\ge3$ знаменатель $k^2-k-2=(k+1)(k-2)$ положителен и меньше $k^2$, поэтому $1+\dfrac{2}{k^2}\lt1+\dfrac{2}{k^2-k-2}$ — шаг доказан.

Итак, $P(1005)\lt\dfrac{2010}{1006}\lt2\lt\dfrac{29}{10}$. Победит Петя.