Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042234

Обозначу число Васи $P(n)=\left(1+\dfrac{2}{3^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\dfrac{2}{n^2}\right)$, где $k$ пробегает нечётные числа от 3 до $n$.

Сначала получу оценки, произведение в которых «сокращается цепочкой».

Оценка снизу. При $k\ge2$ знаменатель $k^2+k-2\ge k^2$, поэтому

$$1+\frac{2}{k^2}\ge1+\frac{2}{k^2+k-2}=\frac{k^2+k}{k^2+k-2}=\frac{k(k+1)}{(k-1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}:\frac{k-1}{k}.$$

Перемножу по $k=3,5,\ldots,n$. Дроби вида $\dfrac{k+1}{k+2}$ и $\dfrac{k-1}{k}$ при соседних нечётных $k$ сокращаются: остаётся $\dfrac{n+1}{n+2}:\dfrac{2}{3}$. Получаем

$$P(n)\ge\frac{3(n+1)}{2(n+2)}.$$

Оценка сверху. При $k\ge3$ знаменатель $k^2-k-2=(k-2)(k+1)$ положителен и меньше $k^2$, поэтому

$$1+\frac{2}{k^2}\lt1+\frac{2}{k^2-k-2}=\frac{k(k-1)}{(k+1)(k-2)}=\frac{k}{k+1}:\frac{k-2}{k-1}.$$

Произведение по $k=3,5,\ldots,n$ сокращается до $\dfrac{n}{n+1}:\dfrac12$, то есть

$$P(n)\lt\frac{2n}{n+1}\lt2.$$

Пункт а. $n=7$: $P(7)\ge\dfrac{3\cdot8}{2\cdot9}=\dfrac43$, а $\dfrac43\gt\dfrac65$ (так как $20\gt18$). Число Васи больше. Проверю и прямым счётом: $P(7)=\dfrac{11}{9}\cdot\dfrac{27}{25}\cdot\dfrac{51}{49}=\dfrac{15147}{11025}\approx1{,}374\gt1{,}2$. Победит Вася.

Пункт б. $n=13$: $P(13)\ge\dfrac{3\cdot14}{2\cdot15}=\dfrac{42}{30}=\dfrac75$, а $\dfrac75=\dfrac{14}{10}\gt\dfrac{13}{10}$. Победит Вася.

Пункт в. При любом $n$ число Васи меньше 2, а $m=\dfrac{14}{5}=2{,}8\gt2$. Победит Петя.