Global EE

Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042501

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Числа и их свойства

№2. Задание 20

ID: 00042501

Для натурального числа $n$ рассмотрим выражение $P(n)=n+s(n)+2s\big(s(n)\big)$, где $s(m)$ — сумма цифр натурального числа $m$ (например, $P(999)=999+27+18=1044$).

а) Может ли $P(n)$ равняться 181 при некотором $n$?

б) Может ли $P(n)$ равняться 192 при некотором $n$?

в) Найдите все натуральные $n$, для которых $P(n)=2020$.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9. Поэтому $n\equiv s(n)\equiv s\big(s(n)\big)\pmod 9$ и $P(n)\equiv n+n+2n=4n\pmod9$.

Пункт а. $n=160$: $s(160)=7$, $s(7)=7$, $P(160)=160+7+14=181$. Итак, да.

Пункт б. Если $P(n)=192$, то $n\lt192$, $s(n)\le18$, $s\big(s(n)\big)\le9$, поэтому $n\ge192-36=156$.

По модулю 9: $192\equiv3$, $4n\equiv3$, $n\equiv3\cdot7=21\equiv3\pmod9$. Кандидаты: $156,\ 165,\ 174,\ 183$.

$P(156)=156+12+6=174$; $P(165)=165+12+6=183$; $P(174)=174+12+2\cdot3=192$.

Значит, $P(174)=192$. Итак, да.

Пункт в. $n\lt2020$, поэтому $s(n)\le28$, $s\big(s(n)\big)\le10$ и $n\ge2020-48=1972$.

По модулю 9: $2020\equiv4$, $4n\equiv4$, $n\equiv1\pmod9$. Кандидаты: $1972,\ 1981,\ 1990,\ 1999,\ 2008,\ 2017$.

Числа до 2000 и после устроены по-разному: у $\overline{19ab}$ сумма цифр $10+a+b$, у $\overline{20ab}$ — всего $2+a+b$.

$P(1972)=1972+19+20=2011$; $P(1981)=1981+19+20=2020$; $P(1990)=1990+19+20=2029$; $P(1999)=1999+28+20=2047$.

$P(2008)=2008+10+2=2020$; $P(2017)=2017+10+2=2029$.

Подходят $n=1981$ и $n=2008$.

Ответ

а) да; б) да; в) $1981$; $2008$

Другие задания по теме «Числа и их свойства» (8)