Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042230

Пункт а. Нужны целые $a$, $b$ с $2a+b=5$ и $2b-a=5$.

Из второго уравнения $a=2b-5$. Подставлю: $2(2b-5)+b=5$, $5b=15$, $b=3$, $a=1$.

Проверка: из $(1;3)$ получается $(2+3;\ 6-1)=(5;5)$. Итак, да.

Пункт б. Пусть $c=2a+b$, $d=2b-a$. Применю операцию к целой паре $(-b;a)$: получится $(-2b+a;\ 2a+b)=(-d;\ c)$.

Значит, пара $(-d;c)$ тоже получается. Итак, да.

Замечу, почему так выходит: если паре $(a;b)$ сопоставить комплексное число $a+bi$, то операция — это умножение на $2-i$: $(a+bi)(2-i)=(2a+b)+(2b-a)i$. А переход $(c;d)\to(-d;c)$ — умножение на $i$, которое можно сделать заранее, с исходной парой.

Пункт в. Найду признак получаемой пары. Если $c=2a+b$, $d=2b-a$, то $2c-d=5a$ и $c+2d=5b$ — оба числа делятся на 5.

Обратно, если $2c-d$ и $c+2d$ делятся на 5, то $a=\dfrac{2c-d}{5}$ и $b=\dfrac{c+2d}{5}$ — целые, и $2a+b=\dfrac{4c-2d+c+2d}{5}=c$, $2b-a=\dfrac{2c+4d-2c+d}{5}=d$.

Пара $(7;2)$: $2\cdot7-2=12$ на 5 не делится, значит, сама она не получается, и расстояние не меньше 1.

Пара $(6;2)$ на расстоянии $|7-6|+|2-2|=1$: $2\cdot6-2=10$ и $6+2\cdot2=10$ делятся на 5, $a=2$, $b=2$.

Проверка: из $(2;2)$ получается $(4+2;\ 4-2)=(6;2)$.

Итак, наименьшее расстояние равно 1.