Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042232

Обозначу исходное число $N$, сумму его цифр $S(N)$, так что $A=N-S(N)$.

Запишу $N=10m+u$, где $u$ — последняя цифра, $m$ — число, получающееся зачёркиванием последней цифры. Тогда $S(N)=S(m)+u$ и $A=10m+u-S(m)-u=10m-S(m)$.

Значит, $A$ зависит только от $m$, а последняя цифра на него не влияет.

Кроме того, при переходе от $m$ к $m+1$ сумма цифр увеличивается не больше чем на 1, поэтому $10(m+1)-S(m+1)\gt10m-S(m)$: значение $A$ строго растёт с ростом $m$.

Пункт а. $N=100$: $A=100-1=99$. Итак, да.

Пункт б. Посчитаю $A$ для соседних $m$:

$m=199$: $A=1990-19=1971$; $m=200$: $A=2000-2=1998$.

Так как $A$ растёт с ростом $m$, все $m\le199$ дают $A\le1971$, а все $m\ge200$ дают $A\ge1998$. Число 1980 лежит между ними и не получается. Итак, нет.

Заметьте: 1980 делится на 9, как и любое $A$ (число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9), но делимости недостаточно.

Пункт в. $m=2217$: $A=22170-(2+2+1+7)=22170-12=22158$ — подходит.

Соседи: $m=2216$ даёт $22160-11=22149$, $m=2218$ даёт $22180-13=22167$. Из монотонности других $m$ нет.

Значит, $N=22170+u$, $u=0,1,\ldots,9$ — все эти десять чисел дают $A=22158$.

Кратность 3: сумма цифр $12+u$ делится на 3 при $u=0,\ 3,\ 6,\ 9$.

Ответ: $22170,\ 22173,\ 22176,\ 22179$.