Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042236

Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9. Поэтому $n\equiv s(n)\equiv s\big(s(n)\big)\pmod 9$ и $P(n)\equiv n+n+2n=4n\pmod9$.

Пункт а. Возьму $n=178$: $s(178)=16$, $s(16)=7$, $P(178)=178+16+2\cdot7=208$. Итак, да.

Пункт б. Если $P(n)=190$, то $n\lt190$. Сумма цифр числа, меньшего 190, не больше 18 (например, $s(99)=s(189)=18$), а сумма цифр числа, не большего 18, не больше 9. Значит, $P(n)\le n+18+18$, откуда $n\ge154$.

По модулю 9: $4n\equiv190\equiv1\pmod9$. Так как $4\cdot7=28\equiv1$, получаем $n\equiv7\pmod9$.

Кандидаты от 154 до 189: $160,\ 169,\ 178,\ 187$.

$P(160)=160+7+14=181$; $P(169)=169+16+14=199$; $P(178)=208$; $P(187)=187+16+14=217$.

Ни один не даёт 190. Итак, нет.

Пункт в. $n\lt2022$, поэтому $s(n)\le28$ (максимум у $1999$), а $s\big(s(n)\big)\le10$ (максимум у $s(19)=s(28)=10$). Значит, $n\ge2022-28-20=1974$.

По модулю 9: $2022\equiv6$, $4n\equiv6$, откуда $n\equiv6\cdot7=42\equiv6\pmod9$.

Кандидаты от 1974 до 2021: $1977,\ 1986,\ 1995,\ 2004,\ 2013$.

$P(1977)=1977+24+12=2013$; $P(1986)=1986+24+12=2022$; $P(1995)=1995+24+12=2031$; $P(2004)=2004+6+12=2022$; $P(2013)=2013+6+12=2031$.

Подходят $n=1986$ и $n=2004$.