Задание 2 ЕГЭ по математике №00042492

Коэффициенты при $x$, $y$, $z$ в уравнении плоскости — координаты вектора нормали $\vec n(3;\,-1;\,2)$, перпендикулярного плоскости.

Вектор параллелен плоскости тогда и только тогда, когда он перпендикулярен нормали, то есть их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec v\cdot\vec n=0\cdot3+2\cdot(-1)+t\cdot2=-2+2t=0\quad\Longrightarrow\quad t=1.$$

Проверка точками. Точка $P(0;\,0;\,1)$ лежит в плоскости: $0-0+2=2$. Отложу от неё $\vec v(0;\,2;\,1)$: получу $Q(0;\,2;\,2)$, и $3\cdot0-2+2\cdot2=2$ — точка $Q$ тоже в плоскости. Значит, вектор $\overrightarrow{PQ}=\vec v$ лежит в плоскости, то есть параллелен ей.