Задание 2 ЕГЭ по математике №00042478

Оба вектора-«базиса» $\overrightarrow{NM}$ и $\overrightarrow{NP}$ выходят из вершины $N$, поэтому пройду от $A$ до $B$ через $N$:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}.$$

Точка $A$ делит $MN$ в отношении $MA:AN=1:3$. Всего частей $1+3=4$, и отрезок $AN$ занимает $3$ из них: $AN=\dfrac34MN$. Вектор $\overrightarrow{AN}$ направлен от $A$ к $N$, то есть противоположно вектору $\overrightarrow{NM}$:

$$\overrightarrow{AN}=-\dfrac34\overrightarrow{NM}.$$

Точка $B$ делит $NP$ в отношении $PB:BN=1:3$ (считая от $P$), значит, $NB=\dfrac34NP$, и вектор $\overrightarrow{NB}$ сонаправлен с $\overrightarrow{NP}$:

$$\overrightarrow{NB}=\dfrac34\overrightarrow{NP}.$$

Складываю:

$$\overrightarrow{AB}=-\dfrac34\overrightarrow{NM}+\dfrac34\overrightarrow{NP}.$$

Значит, $x=-\dfrac34=-0{,}75$ (а $y=0{,}75$).

Проверю координатами. Помещу $N$ в начало, $\overrightarrow{NP}=(4;\,0)$, $\overrightarrow{NM}=(0;\,4)$ (угол параллелограмма на разложение не влияет). Тогда $M(0;\,4)$, $P(4;\,0)$; $A$ на $MN$ на расстоянии $1$ от $M$: $A(0;\,3)$; $B$ на $NP$ на расстоянии $1$ от $P$: $B(3;\,0)$. $\overrightarrow{AB}=(3;\,-3)=-\dfrac34(0;\,4)+\dfrac34(4;\,0)$ — совпало.