Задание 2 ЕГЭ по математике №00042488

Вершины параллелограмма идут по порядку $A\to B\to C\to D$, поэтому противоположные стороны $AB$ и $DC$ равны и одинаково направлены: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Координаты вектора — разность координат конца и начала:

$$\overrightarrow{AB}=(1-2;\;0-(-2);\;-1-0)=(-1;\;2;\;-1).$$

Пусть $D(x;\,y;\,z)$. Тогда $\overrightarrow{DC}=(0-x;\;-1-y;\;1-z)$. Приравниваю координаты:

$$-x=-1,\qquad -1-y=2,\qquad 1-z=-1.$$

Отсюда $x=1$, $y=-3$, $z=2$, то есть $D(1;\,-3;\,2)$. Ордината точки $D$ — её вторая координата, $-3$.

Проверка через диагонали: в параллелограмме они делятся точкой пересечения пополам. Середина $AC$: $\left(\dfrac{2+0}{2};\,\dfrac{-2-1}{2};\,\dfrac{0+1}{2}\right)=(1;\,-1{,}5;\,0{,}5)$. Середина $BD$: $\left(\dfrac{1+1}{2};\,\dfrac{0-3}{2};\,\dfrac{-1+2}{2}\right)=(1;\,-1{,}5;\,0{,}5)$. Середины совпали.