Задание 2 ЕГЭ по математике №00042479

Пусть сторона треугольника равна $a$. Сначала найду положение точки $K$ на стороне $AC$.

Треугольник $DKC$ прямоугольный с прямым углом $K$, угол $C$ равен $60^\circ$, гипотенуза $DC=\dfrac a2$. Катет, прилежащий к углу $C$: $KC=DC\cdot\cos60^\circ=\dfrac a4$. Тогда $AK=a-\dfrac a4=\dfrac{3a}{4}$, и

$$\overrightarrow{AK}=\dfrac34\overrightarrow{AC}.$$

$AD$ — медиана, её вектор равен полусумме векторов сторон, выходящих из $A$:

$$\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}.$$

Теперь

$$\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AD}=\dfrac34\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AB}=\dfrac14\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AB}.$$

Значит, $x=\dfrac14=0{,}25$ (и $y=-\dfrac12$).

Проверю координатами. $A=(0;0)$, $C=(4;0)$, $B=\left(2;\,2\sqrt3\right)$. Середина $BC$: $D=\left(3;\,\sqrt3\right)$, её проекция на $AC$: $K=(3;0)$, $\overrightarrow{DK}=\left(0;\,-\sqrt3\right)$. А $\dfrac14\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AB}=(1;0)-\left(1;\,\sqrt3\right)=\left(0;\,-\sqrt3\right)$ — совпадает.