Задание 2 ЕГЭ по математике №00042480

Точка $O$ лежит на диагонали $CA$, поэтому сначала найду, какую часть диагонали составляет $CO$, а потом выражу сам вектор $\overrightarrow{CA}$.

Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны: углы при $O$ вертикальные, а $\angle OCB=\angle OAD$ как накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$. Коэффициент подобия $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac14$, значит, $\dfrac{CO}{OA}=\dfrac14$.

Диагональ $CA$ состоит из $1+4=5$ частей, и $CO$ — одна из них:

$$\overrightarrow{CO}=\dfrac15\overrightarrow{CA}.$$

Теперь $\overrightarrow{CA}$: пройду путь $C\to D\to A$. Вектор $\overrightarrow{DA}$ параллелен основаниям и направлен так же, как $\overrightarrow{CB}$ (оба идут от правого конца основания к левому), а длиннее его в $4$ раза: $\overrightarrow{DA}=4\overrightarrow{CB}$. Тогда

$$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CD}+4\overrightarrow{CB}.$$

$$\overrightarrow{CO}=\dfrac15\left(4\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right)=\dfrac45\overrightarrow{CB}+\dfrac15\overrightarrow{CD}.$$

Значит, $x=\dfrac45=0{,}8$.

Проверю координатами на трапеции $A(0;\,0)$, $D(4;\,0)$, $B(1{,}3;\,1{,}7)$, $C(2{,}3;\,1{,}7)$ (здесь $BC=1$, $AD=4$). Пересечение диагоналей: $O(1{,}84;\,1{,}36)$. Разложение $\overrightarrow{CO}$ по $\overrightarrow{CB}=(-1;\,0)$ и $\overrightarrow{CD}=(1{,}7;\,-1{,}7)$ даёт коэффициенты $0{,}8$ и $0{,}2$ — совпало.