Задание 2 ЕГЭ по математике №00042491

Косинус угла $\varphi$ между векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение длин.

Скалярное произведение раскрываю по распределительному закону:

$$\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c=1\cdot1\cdot\cos60^\circ+1\cdot1\cdot\cos60^\circ=\dfrac12+\dfrac12=1.$$

Длину $\vec b+\vec c$ нахожу через скалярный квадрат; $\vec b\cdot\vec c=0$, так как векторы перпендикулярны:

$$|\vec b+\vec c|^2=\vec b\cdot\vec b+2\,\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec c=1+0+1=2,\qquad|\vec b+\vec c|=\sqrt2.$$

$$\cos\varphi=\dfrac{1}{1\cdot\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2},\qquad\varphi=45^\circ.$$

Проверю координатами и заодно убежусь, что такие векторы существуют. Положу $\vec b=(1;0;0)$, $\vec c=(0;1;0)$. Условия $\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\dfrac12$ дают первые две координаты $\vec a$, равные $\dfrac12$, а из $|\vec a|=1$ третья координата $\sqrt{1-\dfrac14-\dfrac14}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Тогда $\vec b+\vec c=(1;1;0)$, $\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=1$, $|\vec b+\vec c|=\sqrt2$ — тот же косинус $\dfrac{\sqrt2}{2}$ и угол $45^\circ$.