Задание 2 ЕГЭ по математике №00042489

Угол $C$ треугольника образован векторами $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$, выходящими из вершины $C$. Их координаты — разность координат конца и начала:

$$\overrightarrow{CA}=(-1-2;\ 1-1;\ 0-3)=(-3;\,0;\,-3),\qquad\overrightarrow{CB}=(0-2;\ -1-1;\ 3-3)=(-2;\,-2;\,0).$$

Скалярное произведение: $(-3)\cdot(-2)+0\cdot(-2)+(-3)\cdot0=6$.

Длины: $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{9+0+9}=3\sqrt2$, $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{4+4+0}=2\sqrt2$.

$$\cos C=\dfrac{6}{3\sqrt2\cdot2\sqrt2}=\dfrac{6}{12}=0{,}5.$$

Проверю теоремой косинусов. Квадраты сторон: $CA^2=18$, $CB^2=8$, $AB^2=1^2+(-2)^2+3^2=14$. Тогда $\cos C=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}=\dfrac{18+8-14}{2\cdot\sqrt{144}}=\dfrac{12}{24}=0{,}5$ — совпадает.