Конус — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042487

Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция $ABCD$: большее основание $AB=2R$, меньшее $DC=2r$, боковые стороны $AD=BC=2$ — образующие.

Диагональ $BD$ перпендикулярна боковой стороне $AD$, а угол её наклона к основанию — это $\angle ABD=30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ (прямой угол при $D$) катет $AD$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому гипотенуза вдвое больше:

$$AB=2\cdot AD=4,\qquad R=\dfrac{AB}{2}=2.$$

Угол при большем основании: $\angle DAB=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. Проекция боковой стороны $AD$ на основание $AB$ равна $AD\cdot\cos60^\circ=2\cdot\dfrac12=1$. Такая же проекция у $BC$, поэтому

$$DC=AB-2\cdot1=4-2=2,\qquad r=1.$$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна $\pi(R+r)l$, где $l$ — образующая:

$$S=\pi\cdot(2+1)\cdot2=6\pi,\qquad \dfrac{S}{\pi}=6.$$

Проверка через полный конус. Продлю боковые стороны трапеции до пересечения в точке $P$. Углы при основании $AB$ равны $60^\circ$, значит, треугольник $APB$ равносторонний со стороной $4$: полный конус имеет $R=2$ и образующую $4$, его боковая поверхность $\pi\cdot2\cdot4=8\pi$. Отрезанный сверху конус имеет $r=1$ и образующую $4-2=2$, его боковая поверхность $\pi\cdot1\cdot2=2\pi$. Разность $8\pi-2\pi=6\pi$ — совпадает.