Конус — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042486

Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей $l=5$. Когда развёртку сворачивают обратно, её дуга ложится ровно на окружность основания. Значит, длина дуги равна длине окружности основания:

$$2\pi R=6\pi\quad\Longrightarrow\quad R=3.$$

Высоту нахожу по теореме Пифагора из осевого сечения: образующая — гипотенуза, радиус и высота — катеты:

$$h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$

Объём конуса:

$$V=\dfrac13\pi R^2h=\dfrac13\cdot\pi\cdot9\cdot4=12\pi,\qquad \dfrac{V}{\pi}=12.$$

Проверка через угол развёртки: полная окружность радиуса $5$ имеет длину $10\pi$, дуга $6\pi$ — это $\dfrac{6}{10}$ её, то есть сектор $216^\circ$. Радиус основания равен $l\cdot\dfrac{216^\circ}{360^\circ}=5\cdot0{,}6=3$ — совпадает.