Конус — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042379

Рассмотрю осевое сечение конуса — треугольник $ABC$ с вершиной $C$, центр основания $O$ — середина $AB$, $CO$ — высота. Расстояние от $O$ до образующей $AC$ — это перпендикуляр $OH$ к ней: $OH=3$. Угол наклона образующей к основанию — $\angle OAC=30^\circ$.

Радиус основания. В прямоугольном треугольнике $AHO$ (прямой угол при $H$) катет $OH$ лежит против угла $30^\circ$, значит, он вдвое меньше гипотенузы $AO$:

$$R=AO=\dfrac{OH}{\sin30^\circ}=\dfrac{3}{\frac12}=6.$$

Высота. В прямоугольном треугольнике $AOC$ (прямой угол при $O$):

$$CO=AO\cdot\operatorname{tg}30^\circ=6\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$$

Объём конуса $V=\dfrac13\pi R^2h$:

$$V=\dfrac13\cdot\pi\cdot36\cdot2\sqrt3=24\sqrt3\,\pi,\qquad \dfrac{V}{\pi\sqrt3}=24.$$

Проверка высоты другим путём: в треугольнике $CHO$ угол при вершине $C$ равен $90^\circ-30^\circ=60^\circ$, поэтому $CO=\dfrac{OH}{\sin60^\circ}=\dfrac{3}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3$ — то же самое.